Geometria diferencial
em exercícios

Enunciado 1 · Contração de par simetrizado com par antissimetrizado

H. S. Reall, Part III General Relativity (2022), §1.7 “Tensors”, exercício logo após a eq. (1.42), p. 20 — damtp.cam.ac.uk.

Mostre que T^(ab) X_[a|cd|b] = 0.

No Sucuri: tudo: a identidade inteira (seção I).

Enunciado 15 · Corrente conservada associada a um vetor de Killing

H. S. Reall, Part III General Relativity (2022), §5.3 “Lie derivative”, último exercício da seção, p. 57 — damtp.cam.ac.uk; e D. Tong, General Relativity: Example Sheet 3 (2019), questão 5, p. 2 — davidtong.org.

Reall: Seja J^a = T^a_bX^b, onde T_ab é simétrico e satisfaz ∇_aT^ab = 0 (por exemplo, o tensor energia-momento: ver adiante) e X^b é um campo vetorial de Killing. Mostre que ∇_aJ^a = 0, isto é, que J^a é uma corrente conservada.

Tong: Seja K^μ um campo vetorial de Killing e T_μν o tensor energia-momento. Seja J^μ = T^μ_νK^ν. Mostre que J^μ é uma corrente conservada, isto é, que ∇_μJ^μ = 0.

No Sucuri: tudo: as duas versões: a conservação a partir das duas hipóteses.

Enunciado 16 · Contração de dois tensores de Levi-Civita

H. S. Reall, Part III General Relativity (2022), §8.5 “Volume form”, lema com a eq. (8.54) (“Proof. Optional exercise.”), p. 107 — damtp.cam.ac.uk.

Lema.

ε^{a₁…a_p c_p+1…c_n} ε_{b₁…bp cp+1…cn} = ± p!(n − p)! δ^[a₁_b₁ … δ^a_p]_bp,   (8.54)

onde o sinal superior (inferior) vale para assinatura riemanniana (lorentziana).

Demonstração. Exercício opcional.

[Contexto: (8.52) ε_12…n = √|g| e (8.53) ε^12…n = ±1/√|g| numa carta destra. O caso particular ε^abcdε_abcd = −24 (p = 0, n = 4, assinatura lorentziana) não aparece escrito no texto.]

No Sucuri, em parte: os casos p = 0 e p = 2 em 4D, com as duas assinaturas; o lema para n e p gerais, não.

Enunciado 2 · Derivada covariante de um tensor (1,1)

H. S. Reall, Part III General Relativity (2022), §3.1 “Introduction”, exercício logo após a eq. (3.17), p. 34 — damtp.cam.ac.uk.

Agora a regra de Leibniz pode ser usada para obter a fórmula das componentes na base coordenada de ∇T, onde T é um tensor (r, s):

Tμ₁…μrν₁…νs;ρ = Tμ₁…μrν₁…νs,ρ + Γμ₁σρ Tσμ₂…μrν₁…νs + … + Γμrσρ Tμ₁…μr−1σν₁…νs − Γσν₁ρ Tμ₁…μrσν₂…νs − … − Γσνsρ Tμ₁…μrν₁…νs−1σ   (3.17)

Exercício. Prove este resultado para um tensor (1, 1).

[Contexto: as eqs. (3.9) e (3.16) do mesmo texto dão, na base coordenada, Y^μ_;ν = Y^μ_,ν + Γ^μ_ρνY^ρ e η_μ;ν = η_μ,ν − Γ^ρ_μνη_ρ. O resultado pedido é, portanto, T^μ_ν;ρ = T^μ_ν,ρ + Γ^μ_σρT^σ_ν − Γ^σ_νρT^μ_σ. Esta é uma especialização de (3.17) e não aparece literalmente no texto.]

No Sucuri: tudo: o tensor (1,1), na convenção de Reall, lida da definição escrita.

Enunciado 3 · A transformação dos símbolos de Christoffel

MIT OpenCourseWare, 8.962 General Relativity (Spring 2020), Problem Set 3, questão 4, itens (a)–(b), p. 2 — ocw.mit.edu.

(a) Mostre que, sob uma mudança de coordenadas, as componentes do símbolo de Christoffel se transformam como

Γ^α′_β′γ′ = (∂x^α′/∂x^α)(∂x^β/∂x^β′)(∂x^γ/∂x^γ′) Γ^α_βγ − (∂²x^α′/∂x^β∂x^γ)(∂x^β/∂x^β′)(∂x^γ/∂x^γ′).

Faça isso considerando a forma do símbolo de Christoffel em termos das derivadas da métrica.

(b) Mostre que, com essa regra, as componentes da derivada covariante de um vetor se transformam como as de um tensor devem: ∇_α′A^β′ = (∂x^α/∂x^α′)(∂x^β′/∂x^β) ∇_αA^β.

No Sucuri: tudo: (a) e (b), pela forma dos Christoffel em termos das derivadas da métrica, como o enunciado pede. O ∂′ de um produto — Leibniz com a regra da cadeia, ∂′_λ = J^σ_λ∂_σ — é escrito como hipótese: o Sucuri tem um jogo de coordenadas só, e o resto é álgebra de índices, que ele faz.

Enunciado 4 · Identidades da conexão: derivadas da métrica

MIT OpenCourseWare, 8.962 General Relativity (Spring 2020), Problem Set 3, questão 7, itens (a)–(c), p. 3 — ocw.mit.edu.

Prove as seguintes identidades da conexão:

(a) ∂_λg_μν = Γ_μνλ + Γ_νμλ.

(b) g_μκ∂_λg^κν = −g^κν∂_λg_μκ.

(c) ∂_λg^μν = −Γ^μ_λκg^κν − Γ^ν_λκg^κμ.

No Sucuri: tudo: (a), (b) e (c).

Enunciado 17 · Derivada de Lie de um covetor e da métrica

H. S. Reall, Part III General Relativity (2022), §5.3 “Lie derivative”, “Exercises (examples sheet 2)” 1 e 2, eqs. (5.18)–(5.21), pp. 55–56 (o mesmo conteúdo está em D. Tong, Example Sheet 1, Q5, e Example Sheet 2, Q7) — damtp.cam.ac.uk.

(1) Deduza a fórmula da derivada de Lie de um campo covetorial ω_a numa base coordenada:

(L_Xω)_μ = X^ν∂_νω_μ + ω_ν∂_μX^ν.   (5.18)

Mostre que isto pode ser escrito na forma independente de base

(L_Xω)_a = X^b∇_bω_a + ω_b∇_aX^b,   (5.19)

onde ∇ é qualquer conexão livre de torção.

(2) Mostre que a derivada de Lie de um campo tensorial g_ab do tipo (0, 2), numa base coordenada, é

(L_Xg)_μν = X^ρ∂_ρg_μν + g_μρ∂_νX^ρ + g_ρν∂_μX^ρ,   (5.20)

e que isto pode ser escrito na forma independente de base

(L_Xg)_ab = ∇_aX_b + ∇_bX_a,   (5.21)

onde ∇ é a conexão de Levi-Civita.

Note que não podemos usar índices abstratos em (5.18) e (5.20), pois elas só valem numa base coordenada.

No Sucuri: tudo: (1) e (2): as formas com ∇ no lugar de ∂.

Enunciado 65 · Métricas conformes e a teoria de Nordstrøm

J. M. Evans, Part II General Relativity, Example Sheet 1 (Cambridge, 2026), questão 8, p. 2 — damtp.cam.ac.uk.

Duas métricas g_αβ e ĝ_αβ são conformemente relacionadas se ĝ_αβ = Ω²g_αβ para alguma função escalar Ω. Mostre que seus símbolos de Christoffel Γ^α_βγ e Γ̂^α_βγ estão relacionados por

Γ̂^α_βγ = Γ^α_βγ + Ω⁻¹(δ^α_βΩ_,γ + δ^α_γΩ_,β − g^αδg_βγΩ_,δ).

Na teoria da gravitação de Nordstrøm, a métrica é dada por g_αβ = e^2φη_αβ, onde φ é uma função escalar da posição e η_αβ é a métrica de Minkowski. Calcule a equação de uma geodésica na teoria de Nordstrøm e use o resultado para mostrar que T^αT^βg_αβ é constante ao longo de uma geodésica, onde T^α é o vetor tangente correspondente a um parâmetro afim.

Usando os resultados da questão 5, mostre que uma geodésica nula é também uma geodésica nula no espaço-tempo de Minkowski e deduza daí que os raios de luz não sofrem deflexão gravitacional.

Mostre que, para qualquer geodésica tipo tempo, com um parâmetro μ convenientemente escolhido,

d²x^α/dμ² = −η^αγψ_,γ

para alguma função ψ.

[A vírgula denota derivação em relação a uma coordenada, por exemplo φ_,α = ∂_αφ, e os símbolos de Christoffel são definidos por Γ^α_βγ = ½ g^αμ(g_βμ,γ + g_μγ,β − g_βγ,μ).]

No Sucuri, em parte: a relação entre os Christoffel; a teoria de Nordstrøm, não.

Enunciado 5 · Divergências covariantes e d'Alembertiano em base coordenada

MIT OpenCourseWare, 8.962 General Relativity (Spring 2020), Problem Set 3, questão 7, itens (d)–(f), p. 3 — ocw.mit.edu.

(Continuação da questão 7: “Prove as seguintes identidades da conexão”.) Os três itens seguintes dependem de uma identidade que será provada em aula. A quantidade g é o determinante da métrica g_μν.

(d) ∇_νA_μ^ν = |g|^−1/2∂_ν(|g|^1/2A_μ^ν) − Γ^λ_νμA_λ^ν numa base coordenada.

(e) ∇_νF^μν = |g|^−1/2∂_ν(|g|^1/2F^μν) numa base coordenada, se F^μν for antissimétrico.

(f) □S ≡ g^μν∇_μ∇_νS = |g|^−1/2∂_μ(|g|^1/2g^μν∂_νS) numa base coordenada. (S é uma função escalar.)

No Sucuri: tudo: (d), (e) e (f); e a divergência de um vetor, que é o caso particular.

Enunciado 64 · Variação do determinante e contração dos símbolos de Christoffel

J. M. Evans, Part II General Relativity, Example Sheet 3 (Cambridge, 2026), questão 10, itens (i)–(iv), p. 3 — damtp.cam.ac.uk.

(i) Seja M uma matriz inversível. Mostre que, sob uma pequena variação δM, a variação correspondente do determinante é, em primeira ordem, δ(det M) = (det M) tr(M⁻¹δM). [Dica: se as entradas de uma matriz A são pequenas, então, em primeira ordem, det(I + A) = 1 + tr A, onde I é a matriz identidade.]

(ii) Seja g_αβ uma métrica de assinatura lorentziana e seja g = det(g_αβ). Use o resultado de (i) para mostrar que

Γ_α^β_β = (1/2g) ∂g/∂x^α = (1/√−g) ∂(√−g)/∂x^α,

onde Γ_α^γ_β é a conexão de Levi-Civita. (Note que g < 0 para uma métrica de assinatura lorentziana.)

(iii) Uma densidade tensorial de peso q é uma quantidade que se transforma como um tensor sob uma mudança de coordenadas de {x^μ} para {x̃^α}, mas com um fator adicional Δ^q, onde Δ = det(∂x^μ/∂x̃^α) é o jacobiano. Mostre que g se transforma como uma densidade escalar de peso 2.

(iv) Para ψ uma densidade escalar de peso q, a derivada covariante é definida por

∇_αψ = ∂ψ/∂x^α − q Γ_α^β_β ψ.

Mostre que ∇_αψ é uma densidade covetorial de peso q.

No Sucuri, em parte: o item (ii); (i) é a fórmula de Jacobi, que no Sucuri é a declaração de det g; (iii) e (iv), densidades, não.

Enunciado 66 · Equações de Maxwell com √−g

G. 't Hooft, Introduction to General Relativity (Utrecht, 2013), cap. 10 “Electromagnetism”, exercício após a eq. (10.12), eqs. (10.13)–(10.14), p. 45 — webspace.science.uu.nl.

[Contexto: variando A_μ, a equação de Maxwell inomogênea torna-se D_μF_μν = g^αβD_αF_βν = −J_ν (10.12), recebendo assim uma contribuição do campo gravitacional Γ^λ_μν e do potencial g^αβ.]

Exercício: mostre que a eq. (10.12) pode também ser escrita como

∂_μ(√−g F^μν) = −√−g J^ν,   (10.13)

e que

∂_μ(√−g J^μ) = 0.   (10.14)

Assim, √−g J^μ é a verdadeira corrente conservada, e a eq. (10.13) implica que √−g atua como a constante dielétrica do vácuo.

No Sucuri: tudo: (10.13), pela identidade ∇_μF^μν = (−g)^−1/2∂_μ(√−g F^μν), e (10.14): ∂_ν do lado esquerdo de (10.13) é identicamente zero.

Enunciado 10 · Identidade de Bianchi contraída

D. Tong, General Relativity: Example Sheet 2 (2019), questão 4, p. 1 — davidtong.org.

O tensor de Riemann construído a partir da conexão de Levi-Civita obedece à identidade de Bianchi R^μ_ν[ρσ;λ] = 0. Use esse fato para deduzir a identidade de Bianchi contraída G^μ_ν;μ = 0, onde G_μν = R_μν − ½ R g_μν é o tensor de Einstein.

No Sucuri: tudo: a identidade contraída, a partir da segunda identidade de Bianchi.

Enunciado 14 · Segunda derivada de um vetor de Killing e vetores de Killing de Minkowski

D. Tong, General Relativity: Example Sheet 3 (2019), questão 6, p. 2 — davidtong.org.

Mostre que um campo vetorial de Killing K^μ satisfaz a equação

∇_μ∇_νK^ρ = R^ρ_νμσ K^σ

[Dica: use a identidade R^ρ_[μνσ] = 0.]

Deduza que, no espaço-tempo de Minkowski, as componentes dos covetores de Killing são funções lineares das coordenadas.

No Sucuri: tudo: a identidade, e, em Minkowski, ∂∂K = 0: K linear nas coordenadas.

Enunciado 68 · Equação de segunda ordem para covetores de Killing; os 10 vetores de Killing de Minkowski

J. M. Evans, Part II General Relativity, Example Sheet 3 (Cambridge, 2026), questão 6, p. 2 — damtp.cam.ac.uk.

Seja ξ_α um campo covetorial de Killing, satisfazendo ξ_α;β + ξ_β;α = 0 (veja a questão 5 da Lista 2). Use a identidade de Ricci e R^α_[βγδ] = 0 para mostrar que

ξ_α;βγ = −R^δ_γαβ ξ_δ .

No caso do espaço de Minkowski, integre essa equação duas vezes e deduza que existem 10 vetores de Killing independentes.

No Sucuri: tudo: a identidade, na escrita de Evans, e os 10 campos de Killing de Minkowski.

Enunciado 69 · Campo escalar com ∇∇φ = Ricci

J. M. Evans, Part II General Relativity, Example Sheet 3 (Cambridge, 2026), questão 4, p. 1 — damtp.cam.ac.uk.

Seja φ um campo escalar num espaço-tempo curvo tal que

∇_α∇_βφ = R_αβ,

onde R_αβ é o tensor de Ricci. Mostre que

∇_α(∇_β∇^βφ) = −2R_αβ∇^βφ

e deduza daí que ∇_αφ∇^αφ + R é constante.

[Dica: use a identidade de Ricci e a identidade de Bianchi contraída, ∇^βR_αβ = ½∇_αR.]

No Sucuri: tudo: a conclusão, com a Bianchi contraída como hipótese, como na dica.

Enunciado 6 · Torção e comutador de derivadas covariantes de uma função

D. Tong, General Relativity: Example Sheet 2 (2019), questão 2, p. 1 — davidtong.org.

Seja ∇ uma conexão que não é livre de torção. Seja T(X, Y) = ∇_XY − ∇_YX − [X, Y], onde X e Y são campos vetoriais. Mostre que isto define um campo tensorial T do tipo (1, 2). Ele é chamado de tensor de torção. Mostre que, para qualquer função f,

2∇_[μ∇_ν] f = −T^ρ_μν ∇_ρ f.

No Sucuri: tudo: a identidade, com a torção escrita numa carta, T^ρ_μν = Γ^ρ_μν − Γ^ρ_νμ; que T é tensor sai sem índice (enunciado 21).

Enunciado 7 · Identidade de Ricci

H. S. Reall, Part 3 General Relativity (2022), §4.2 “The Riemann tensor”, exercício com a eq. (4.8), p. 42 — damtp.cam.ac.uk.

Contexto: vimos antes que, com torção nula, as derivadas covariantes segundas de uma função comutam. O mesmo não vale para derivadas covariantes de campos tensoriais; a falha de comutação provém do tensor de Riemann.

Exercício. Seja ∇ uma conexão sem torção. Prove a identidade de Ricci:

∇_c∇_dZ^a − ∇_d∇_cZ^a = R^a_bcd Z^b (4.8)

Dica: mostre que a equação é verdadeira quando multiplicada por campos vetoriais arbitrários X^c e Y^d.

No Sucuri: tudo: a identidade (4.8), a partir das componentes (4.6) do Riemann, com a conexão sem torção.

Enunciado 8 · Identidade de Ricci para uma 1-forma

D. Tong, General Relativity: Example Sheet 2 (2019), questão 3, p. 1 — davidtong.org.

Seja ∇ uma conexão livre de torção. Deduza o análogo da identidade de Ricci para uma 1-forma ω:

2∇_[μ∇_ν] ω_ρ = −R^σ_ρμν ω_σ.

No Sucuri: tudo: a identidade na 1-forma, a partir da definição do Riemann num vetor.

Enunciado 9 · Simetria de troca de pares do tensor de Riemann

S. M. Carroll, Lecture Notes on General Relativity (1997), cap. 3 “Curvature”, parágrafo logo após a eq. (3.81), p. 79 — arxiv.org.

Esta última propriedade equivale ao anulamento da parte antissimétrica nos três últimos índices:

R_ρ[σμν] = 0.   (3.81)

Todas essas propriedades foram deduzidas num sistema de coordenadas especial, mas são todas equações tensoriais e, portanto, valem em quaisquer coordenadas. Nem todas são independentes: com algum esforço, você pode mostrar que (3.64), (3.78) e (3.81), juntas, implicam (3.79). A interdependência lógica das equações costuma ser menos importante do que o simples fato de que elas são verdadeiras.

[Referências do texto: (3.64) R^ρ_σμν = −R^ρ_σνμ; (3.78) R_ρσμν = −R_σρμν; (3.79) R_ρσμν = R_μνρσ; (3.80) R_ρσμν + R_ρμνσ + R_ρνσμ = 0.]

No Sucuri: tudo: a troca de pares, reescrita sem índice, com as três propriedades como hipóteses.

Enunciado 11 · Riemann a partir de sua parte simetrizada

H. S. Reall, Part III General Relativity (2022), §4.5 “Geodesic deviation”, exercício com a eq. (4.25), p. 47 (as simetrias usadas são as eqs. (4.16)–(4.17) do §4.4, p. 45) — damtp.cam.ac.uk.

[…] Portanto, medindo o lado esquerdo acima [da equação do desvio geodésico (4.24)], podemos determinar R^a_(bc)d. A partir disso podemos determinar R^a_bcd:

Exercício. Mostre que, para uma conexão livre de torção,

R^a_bcd = ⅔ (R^a_(bc)d − R^a_(bd)c).   (4.25)

[Simetrias disponíveis no texto: (4.16) R^a_b(cd) = 0 e, para conexão livre de torção, (4.17) R^a_[bcd] = 0.]

No Sucuri: tudo: (4.25), reescrita sem índice.

Enunciado 59 · Identidades vetoriais em notação de índices

R. E. Hunt, Vector Calculus: Example Sheet 1 (Part IA, Cambridge, Lent 2026), questão 3, p. 1 — damtp.cam.ac.uk.

Use notação de índices para mostrar que, para campos vetoriais u(x) e v(x),

∇ × (u × v) = (∇ · v)u − (∇ · u)v + (v · ∇)u − (u · ∇)v

e

(u · ∇)u = ∇(½|u|²) − u × (∇ × u).

No Sucuri: tudo: as duas identidades.

Enunciado 60 · Decomposição de um tensor de segunda ordem

R. E. Hunt, Vector Calculus: Example Sheet 4 (Part IA, Cambridge, Lent 2026), seção “Symmetries of Tensors”, questão 6, p. 2 — damtp.cam.ac.uk.

(i) Decompondo primeiro em partes simétrica e antissimétrica, mostre que um tensor arbitrário de segunda ordem T_ij pode ser escrito na forma

T_ij = α δ_ij + ε_ijk ω_k + D_ij

para algum escalar α, algum vetor ω e algum tensor simétrico de traço nulo D_ij.

(ii) Seja u(x) um campo vetorial e seja T_ij = ∂u_i/∂x_j. Mostre que α = ⅓ ∇ · u e ω = −½ ∇ × u. Encontre D_ij (o “tensor de deformação desviador”) para o caso u(x) = (xy², yz², zx²).

* Verifique que (0, 0, 1) é um eixo principal de D_ij no ponto x = (2, 3, 0) e encontre os demais.

No Sucuri, em parte: o item (i), pela parte antissimétrica; (ii), não.

Enunciado 51 · d² = 0 em ℝ³: rot grad = 0 e div rot = 0

C. Wendl, Differential Geometry I, Problem Set 6 (Humboldt-Universität zu Berlin, 2016–17), problema 6(c) — mathematik.hu-berlin.de.

Contexto (preâmbulo do problema 6 e item (b)): dada uma forma de volume μ ∈ Ωⁿ(M) numa n-variedade M, o divergente de X ∈ Vec(M) é a única função div(X) : M → ℝ tal que L_Xμ = div(X) μ. Em M = ℝ³, com μ = dx ∧ dy ∧ dz e X = X^x∂_x + X^y∂_y + X^z∂_z, tem-se div(X) = ∂_xX^x + ∂_yX^y + ∂_zX^z, expressão às vezes denotada por ∇ · X.

(c) Lembre que, em ℝ³, o gradiente de uma função f : ℝ³ → ℝ é o campo vetorial

grad(f) = ∇f := (∂_xf)∂_x + (∂_yf)∂_y + (∂_zf)∂_z,

e o rotacional de um campo vetorial X = X^x∂_x + X^y∂_y + X^z∂_z é o campo vetorial

rot(X) = ∇ × X := (∂_yX^z − ∂_zX^y)∂_x + (∂_zX^x − ∂_xX^z)∂_y + (∂_xX^y − ∂_yX^x)∂_z.

Usando as relações dessas operações com as formas diferenciais e a derivada exterior, deduza de d² = 0 as fórmulas

∇ × (∇f) = 0   e   ∇ · (∇ × X) = 0

para toda f ∈ C^∞(ℝ³) e todo X ∈ Vec(ℝ³).

No Sucuri: tudo: rot grad = 0 e div rot = 0, com formas e com índices.

Enunciado 63 · Identidade de Ricci para tensores de ordem 2

J. M. Evans, Part II General Relativity, Example Sheet 3 (Cambridge, 2026), questão 1, itens (i)–(ii), p. 1 — damtp.cam.ac.uk.

A identidade de Ricci para um campo vetorial V^μ é ∇_α∇_βV^μ − ∇_β∇_αV^μ = R^μ_ναβV^ν.

(i) Deduza o resultado correspondente para um campo covetorial W_μ, considerando ∇_α∇_β(V^μW_μ) − ∇_β∇_α(V^μW_μ). Há uma maneira mais fácil de obter esse resultado?

(ii) [item correspondente ao exercício 63] Dados dois campos vetoriais U^μ e V^μ, calcule ∇_α∇_β(U^μV^ν) − ∇_β∇_α(U^μV^ν). Deduza que, para um campo tensorial arbitrário T^μν,

∇_α∇_βT^μν − ∇_β∇_αT^μν = R^μ_σαβT^σν + R^ν_σαβT^μσ.

Mostre então que ∇_α∇_βT^αβ = ∇_β∇_αT^αβ para qualquer campo tensorial T^αβ.

No Sucuri: tudo: (i) (enunciado 8) e (ii).

Enunciado 13 · O tensor de Weyl

D. Tong, General Relativity: Example Sheet 2 (2019), questão 9, p. 3 — davidtong.org.

Num espaço-tempo de dimensão d, defina o tensor

C_μνρσ = R_μνρσ + α(R_μρg_νσ + R_νσg_μρ − R_μσg_νρ − R_νρg_μσ) + βR(g_μρg_νσ − g_μσg_νρ),

onde α e β são constantes. Mostre que C_μνρσ tem as mesmas simetrias que R_μνρσ.

Quais valores de α e β dão C^μ_νμσ = 0? Determine-os. Com essa condição adicional, C_μνρσ é chamado de tensor de Weyl. Mostre que ele se anula se d = 2, 3.

Tomando d = 4, quantas componentes independentes têm R_μν e C_μνρσ? Mostre que, no vácuo,

∇^μC_μνρσ = 0.

O que o tensor de Weyl representa fisicamente?

No Sucuri: tudo: as simetrias, α e β, o Weyl nulo em d = 2, 3, as contagens em d = 4 e ∇^μC_μνρσ = 0 no vácuo; a pergunta física fica com o leitor.

Enunciado 12 · Componentes independentes do Riemann; o caso bidimensional

D. Tong, General Relativity: Example Sheet 2 (2019), questão 8, p. 2 — davidtong.org.

Quantas componentes independentes o tensor de Riemann (da conexão de Levi-Civita) tem em duas, três e quatro dimensões? Mostre que, em duas dimensões,

R_μνρσ = ½ R (g_μρg_νσ − g_μσg_νρ).

Discuta as implicações para a relatividade geral em duas dimensões de espaço-tempo.

No Sucuri: tudo: as contagens (1, 6 e 20), a fórmula em 2D e, para a discussão, que G_μν ≡ 0 em 2D.

Enunciado 61 · Contando componentes de tensores antissimétricos

A. Guth, MIT 8.962 General Relativity (Spring 2018), Problem Set 4, Problem 1 (“Counting Tensors”), p. 1 — web.mit.edu.

Em aula deduzimos que, se S_μ1···μR é totalmente simétrico em seus índices e cada índice pode assumir D valores diferentes, então o número de componentes independentes é

N = (R + D − 1)! / [R! (D − 1)!].

Suponha que A_μ1···μR seja totalmente antissimétrico em seus índices, com cada índice podendo novamente assumir D valores diferentes. Quantas componentes independentes A_μ1···μR possui?

No Sucuri, em parte: a contagem dimensão a dimensão; a fórmula geral em R e D, não.

Enunciado 62 · Campos de Killing de rotação no espaço euclidiano 3D

Y. Ali-Haïmoud, General Relativity (NYU, Fall 2019), Homework 6, Exercise 1, itens (v) e (vi) (com o preâmbulo que os precede), p. 1 — cosmo.nyu.edu.

Considere o espaço plano tridimensional, com coordenadas cartesianas x¹, x², x³, base coordenada associada {∂_(i)}, i = 1, 2, 3, e elemento de linha dℓ² = δ_ijdxⁱdx^j. Defina os três campos vetoriais V_(i) ≡ ε_ijkx^j∂_(k), em que ε_ijk é o símbolo de Levi-Civita (totalmente antissimétrico, com ε₁₂₃ = 1), e soma-se sobre índices repetidos mesmo que não estejam um em cima e outro embaixo.

(v) Mostre que esses três campos vetoriais são campos de Killing.

(vi) Mostre que eles satisfazem as relações de comutação [V_(i), V_(j)] = −ε_ijkV_(k).

No Sucuri: tudo: (v) e (vi).

Enunciado 71 · Curvatura linearizada

J. M. Evans, Part II General Relativity, Example Sheet 4 (Cambridge, 2026), questão 10, item (i), p. 4 — damtp.cam.ac.uk.

(i) Um campo gravitacional fraco tem a métrica de espaço-tempo g_αβ = η_αβ + εh_αβ + O(ε²), onde η_αβ é a métrica de Minkowski e ε é pequeno. Mostre que

R_αβγδ = ½ε(h_αδ,βγ + h_βγ,αδ − h_αγ,βδ − h_βδ,αγ) + O(ε²).

Seja h = h^γ_γ e defina h̄_αβ = h_αβ − ½h η_αβ. Verifique que h_αβ = h̄_αβ − ½h̄ η_αβ, onde h̄ = h̄^γ_γ, e mostre que

R_αβ = ½ε(−□h̄_αβ + h̄_α^γ_,βγ + h̄_β^γ_,αγ + ½η_αβ□h̄) + O(ε²),

onde □ = η^αβ∂_α∂_β. Qual é a equação de Einstein linearizada no vácuo para h̄_αβ?

No Sucuri: tudo: o Riemann e o Ricci linearizados; a equação de vácuo é leitura do resultado.

Enunciado 67 · Identidade de Bianchi para F = dA e conservação do tensor de Maxwell

J. M. Evans, Part II General Relativity, Example Sheet 3 (Cambridge, 2026), questão 5, p. 2 — damtp.cam.ac.uk.

O tensor de Maxwell F_αβ do campo eletromagnético no espaço-tempo curvo é dado, em termos de um potencial vetor A_α, por F_αβ = ∇_αA_β − ∇_βA_α. Mostre que isso implica ∇_[γF_αβ] = 0. Mostre ainda que, se ∇_βF^αβ = 0, então o tensor energia-momento

T^αβ = F^α_γF^βγ − ¼ g^αβF_γδF^γδ

é conservado, isto é, ∇_βT^αβ = 0.

No Sucuri: tudo: ∇_[γF_αβ] = 0 para F = dA escrito com ∇, pela primeira identidade de Bianchi, e a conservação de T^αβ.

Enunciado 70 · Derivada exterior em coordenadas: caso de 1-formas e 2-formas

C. Wendl, Differential Geometry I (Humboldt-Universität zu Berlin, 2016–17), Problem Set 6, Problema 4(b) (pp. 2–3) — mathematik.hu-berlin.de.

4. Lembre que, se (x¹, …, xⁿ) : U → ℝⁿ é uma carta definida num aberto de uma n-variedade M, qualquer k-forma ω ∈ Ω^k(M) pode ser escrita em U como

ω = ω_i1…ik dx^i₁ ⊗ … ⊗ dx^i_k = (1/k!) ω_i1…ik dx^i₁ ∧ … ∧ dx^i_k = Σ_i1<…<ik ω_i1…ik dx^i₁ ∧ … ∧ dx^i_k,

onde as duas primeiras expressões usam a convenção de soma de Einstein e a terceira não. Aqui as funções componentes ω_i1…ik : U → ℝ podem ser escritas em termos dos campos coordenados ∂₁, …, ∂_n como ω_i1…ik = ω(∂_i1, …, ∂_ik). Para escrever uma fórmula em coordenadas para a derivada exterior, introduzimos a seguinte notação: dada uma coleção qualquer de funções T_i1…ik em U indexadas por i₁, …, i_k, defina

T_[i1…ik] := (1/k!) Σ_σ∈Sk (−1)^|σ| T_{iσ(1)…iσ(k)},

de modo que, por exemplo, se T_i1…ik são as componentes de um campo tensorial T, então Alt(T)_i1,…,ik = T_[i1…ik], e o produto exterior de α ∈ Ω^k(M) e β ∈ Ω^ℓ(M) pode agora ser escrito em coordenadas como

(α ∧ β)_{i1…ikj1…jℓ} = α_[i1…ikβ_j1…jℓ].

(a) Prove que a derivada exterior d : Ω^k(M) → Ω^k+1(M) satisfaz (dω)_i1…ik+1 = (k + 1) ∂_[i1ω_i2…ik+1].

(b) Mostre que, para λ ∈ Ω¹(M) e ω ∈ Ω²(M), a fórmula acima se reduz a

(dλ)_ij = ∂_iλ_j − ∂_jλ_i  e  (dω)_ijk = ∂_iω_jk + ∂_jω_ki + ∂_kω_ij.

No Sucuri, em parte: a soma cíclica, pela antissimetrização explícita; ∂_[iω_jk] com a antissimetrização atravessando o índice da derivada ainda não se escreve.

Enunciado 35 · Esfera unitária: Christoffel, Ricci e escalar de Ricci

J. M. Cline, A Short Course in General Relativity (2026), cap. 7, §7.5 Problems, problema 7.2, p. 43 — arxiv.org.

(a) Calcule os símbolos de Christoffel não nulos para a métrica da esfera unitária, ds² = dθ² + sen²θ dϕ².

(b) Calcule o tensor de Ricci.

(c) Calcule o escalar de Ricci.

No Sucuri: tudo: (a), (b) e (c).

Enunciado 36 · Curvatura de uma esfera

MIT OpenCourseWare, 8.962 General Relativity (Spring 2020), Problem Set 5, questão 4 (“Curvature of a sphere”), itens (a)–(c), p. 3 — ocw.mit.edu.

(a) Calcule todas as componentes não nulas do tensor de Riemann R_ijkl [(i, j, k, l) ∈ (θ, φ)] para a superfície de uma 2-esfera.

(b) Considere o transporte paralelo de um vetor tangente A = A^θ e_θ + A^φ e_φ sobre a esfera ao longo de um paralelogramo infinitesimal de lados e_θ dθ e e_φ dφ. Usando os resultados do item (a), mostre que, em primeira ordem em dΩ ≡ sen θ dθ dφ, o comprimento de A não se altera, mas sua direção gira de um ângulo igual a dΩ.

(c) Mostre que, se A for transportado paralelamente ao longo da fronteira de qualquer ângulo sólido Ω simplesmente conexo, sua direção gira de um ângulo Ω. (“Simplesmente conexo” é um termo topológico que significa que a fronteira da região pode ser encolhida até um ponto; ele garante que não há buracos na variedade nem outras patologias.) Compare com o resultado do Problema 3 (transporte paralelo ao longo do paralelo θ = θ₀ na 2-esfera de raio a, ds² = a²(dθ² + sen²θ dφ²)).

No Sucuri, em parte: (a) o Riemann, e (b): δA = R(·)A dθ dφ é ortogonal a A e tem |δA| = sen θ |A| dθ dφ — uma rotação de dΩ; (c), para qualquer região, é somar as rotações infinitesimais, um argumento, e não conta.

Enunciado 37 · Derivada covariante e laplaciano vetorial em coordenadas polares

J. M. Cline, A Short Course in General Relativity (2026), Problema 7.6, §7.5 “Problems”, pp. 43–44 — arxiv.org.

7.6. (a) Calcule as componentes A_r;r, A_r;θ, A_θ;r, A_θ;θ de um vetor em coordenadas polares 2D. Lembre que Γ^r_θθ = −r e Γ^θ_rθ = 1/r.

(b) Usando os resultados de (a), encontre A_r;rr, A_r;θθ, A_θ;rr e A_θ;θθ.

(c) Junte esses resultados para obter o laplaciano covariante g^ij∇_i∇_jA_k para as componentes covariantes de A⃗. Ele é conhecido como laplaciano vetorial. Dica: pode-se considerar A_θ adimensional e A_r com dimensão de 1/r, como forma de conferir as dimensões. Eu obtenho

∇²A_r = A_r,rr + r⁻²(A_r,θθ − 2r⁻¹A_θ,θ + rA_r,r − A_r),
∇²A_θ = A_θ,rr + r⁻²A_θ,θθ − r⁻¹A_θ,r + 2r⁻¹A_r,θ.   (7.44)

(Isso não concorda com o Wolfram MathWorld, porque este supõe uma base em que o vetor unitário θ é normalizado a 1, ao passo que aqui x̂^θ · x̂^θ = g^θθ = 1/r². Em outras palavras, no Wolfram A_θ é dividido por r para ter a mesma dimensão de A_r. Veja o quadro sobre bases coordenadas versus ortonormais mais adiante.)

No Sucuri: tudo: (a) e (b), as derivadas covariantes primeiras e segundas, e (c) o laplaciano vetorial, que coincide com a (7.44).

Enunciado 38 · Conexão no espaço-tempo de Rindler

MIT OpenCourseWare, 8.962 General Relativity (Spring 2020), Problem Set 4, questão 1, p. 1 — ocw.mit.edu.

O espaço-tempo de um observador acelerado, deduzido na Lista 2,

ds² = −(1 + g x̄)² dt̄² + dx̄² + dȳ² + dz̄²   (1)

é conhecido como “espaço-tempo de Rindler”. Calcule todos os símbolos de Christoffel não nulos desse espaço-tempo. (O problema 3.3 de Carroll ajudará bastante aqui.)

No Sucuri: tudo: os Christoffel.

Enunciado 39 · Tensor de Riemann para espaços-tempos estáticos 1+1

MIT OpenCourseWare, 8.962 General Relativity (Spring 2020), Problem Set 5, questão 6, itens (a)–(b), p. 3 — ocw.mit.edu.

(a) Calcule todas as componentes não nulas do tensor de Riemann para o espaço-tempo com elemento de linha

ds² = −e^2φ(x) dt² + e^−2ψ(x) dx².

(b) No caso φ = ψ = ½ ln|g(x − x₀)|, em que g e x₀ são constantes, mostre que o espaço-tempo é plano e encontre uma transformação de coordenadas para coordenadas globalmente planas (t̄, x̄) tais que ds² = −dt̄² + dx̄².

No Sucuri, em parte: o item (a); em (b), a mudança para coordenadas planas não.

Enunciado 40 · Símbolos de Christoffel e curvatura de uma métrica estática esfericamente simétrica

D. Tong, General Relativity: Example Sheet 2 (2019), questão 11*, p. 3 — davidtong.org.

Considere métricas da forma

ds² = −f(r)² dt² + f(r)⁻² dr² + r²(dθ² + sin²θ dφ²).

Use a ação de uma partícula-teste para escrever as equações da geodésica nesta métrica e, a partir delas, extraia os símbolos de Christoffel nas coordenadas (t, r, θ, φ).

Use uma base de vierbeins (tétradas) para determinar a 2-forma de curvatura e, a partir dela, as componentes do tensor de Riemann nas coordenadas (t, r, θ, φ).

No Sucuri: tudo: as equações das geodésicas — pelos Christoffel e conferidas com a ação da partícula-teste —, os Christoffel, a tétrada, as 2-formas de curvatura e o Riemann, na base e em coordenadas.

Enunciado 41 · 2-formas de curvatura de Schwarzschild em base ortonormal

H. S. Reall, Part 3 General Relativity (Cambridge, 2022), §8.4 “Curvature 2-forms”, Exercício (examples sheet 4) após o Exemplo, eqs. (8.45)–(8.51), pp. 105–106 — damtp.cam.ac.uk.

Contexto (§8.2, eq. (8.27), p. 102): o espaço-tempo de Schwarzschild admite a tétrade óbvia

e⁰ = f dt,   e¹ = f⁻¹ dr,   e² = r dθ,   e³ = r sen θ dφ,   onde f = √(1 − 2M/r),

com 1-formas de conexão ω⁰₁ = f′e⁰, ω²₁ = (f/r)e², ω³₁ = (f/r)e³, ω³₂ = (1/r) cot θ e³ (e as relacionadas por ω_μν = −ω_νμ).

Contexto (§8.4): as 2-formas de curvatura numa base ortonormal são Θ^μ_ν = ½ R^μ_νρσ e^ρ ∧ e^σ (8.45); a antissimetria do tensor de Riemann implica Θ_μν = −Θ_νμ (8.46); e Θ^μ_ν = dω^μ_ν + ω^μ_ρ ∧ ω^ρ_ν (8.47). No Exemplo, a partir de ω⁰₁ = f′e⁰, obtém-se

Θ₀₁ = −Θ⁰₁ = (ff″ + f′²) e⁰ ∧ e¹  (8.50),   R₀₁₀₁ = −R₀₁₁₀ = ff″ + f′² = ½(f²)″ = −2M/r³  (8.51).

Exercício (examples sheet 4). Determine as 2-formas de curvatura restantes Θ₀₂, Θ₀₃, Θ₁₂, Θ₁₃, Θ₂₃ (todas as demais se relacionam com estas por (8.46)). A partir daí, determine as componentes do tensor de Riemann. Verifique que o tensor de Ricci se anula.

No Sucuri: tudo: as cinco 2-formas pedidas, as componentes do Riemann na base, e o Ricci nulo.

Enunciado 42 · Símbolos de Christoffel e geodésicas do plano hiperbólico

J. Ross, Part III 2016: Differential Geometry — Example Sheets (Cambridge, 2016), Example Sheet 4, Questão 9 (p. 13 do PDF compilado) — dec41.user.srcf.net.

9. Defina o espaço hiperbólico H como o semiplano superior {(x, y) : y > 0} e ponha

g = (dx ⊗ dx + dy ⊗ dy) / y².

Verifique que g define uma métrica riemanniana em H e calcule os símbolos de Christoffel da conexão de Levi-Civita. Mostre que γ = (u, v) é uma geodésica se e somente se

u″v = 2u′v′  e  v″v = v′² − u′²,

e use isso para encontrar as geodésicas.

No Sucuri: tudo: g é riemanniana (a diagonal é positiva em y > 0), os Christoffel, as equações das geodésicas e as geodésicas: semicírculos (x − x₀)² + y² = κ/L² e, com L = 0, retas verticais.

Enunciado 43 · A 3-esfera unitária

J. M. Cline, A Short Course in General Relativity (2026), cap. 7, §7.5 Problems, problema 7.10, pp. 44–45 — arxiv.org.

A 3-esfera unitária pode ser mergulhada no espaço euclidiano 4D, com coordenadas (w, x, y, z), pelo vínculo x² + y² + z² + w² = 1.

(a) Mostre que o vínculo é satisfeito ao parametrizar as coordenadas euclidianas por

w = c_ψ,   x = s_ψs_θc_ϕ,   y = s_ψs_θs_ϕ,   z = s_ψc_θ   (7.46)

em que c e s denotam o cosseno e o seno dos ângulos indicados no índice, com 1 ≤ θ, ψ ≤ π e 0 ≤ ϕ ≤ 2π. [sic: leia-se 0 ≤ θ, ψ ≤ π]

(b) Calculando o elemento de linha no espaço euclidiano, mostre que a métrica induzida é diag(1, s_ψ², s_ψ²s_θ²) nas coordenadas (ψ, θ, ϕ). Dica: comece com dx² + dy² para isolar o termo em dϕ², depois some dz² para obter o termo em dθ². Some dw² por último. Encontre o elemento de volume e calcule o volume da 3-esfera.

(c) Insira a métrica num pacote de manipulação simbólica e mostre que a curvatura de Ricci é R = 6. Encontre também R_ij.

(d) Calcule o volume V de uma pequena região ψ < ϵ até O(ϵ⁵) e compare-o com o volume correspondente V_E de uma esfera de raio ϵ no espaço plano (euclidiano). Verifique assim a Eq. (7.20), V/V_E = 1 − r²R/[6(d + 2)] + O(r⁴), para a 3-esfera.

No Sucuri: tudo: (a) o vínculo, (b) a métrica induzida, o elemento e o volume 2π², (c) R = 6 e R_ij = 2g_ij, (d) V até O(ϵ⁵) e a razão V/V_E = 1 − ϵ²/5, que é a (7.20) com R = 6 e d = 3.

Enunciado 44 · Isometrias e a álgebra so(3)

D. Tong, General Relativity: Example Sheet 3 (2019), questão 4, p. 1 — davidtong.org.

(i) Sejam X e Y dois campos vetoriais. Mostre que ℒ_X(ℒ_YQ) − ℒ_Y(ℒ_XQ) = ℒ_[X,Y]Q quando Q é uma função ou um campo vetorial. Use a propriedade de Leibniz da derivada de Lie para mostrar que isso vale também quando Q é uma 1-forma.

(ii) Mostre que, se uma variedade riemanniana ou lorentziana tem duas isometrias “independentes”, então tem uma terceira, e defina o que se entende aqui por independente.

(iii) Considere a esfera unitária com métrica ds² = dθ² + sen²θ dφ². Mostre que X = ∂/∂φ e Y = sen φ ∂/∂θ + cot θ cos φ ∂/∂φ são vetores de Killing. Encontre um terceiro, e mostre que eles obedecem à álgebra de Lie de so(3).

No Sucuri: tudo: (i) em funções (a definição do colchete), em campos (Jacobi) e em 1-formas (Leibniz, enunciado 46); (ii) o colchete de dois campos de Killing é de Killing — “independentes” é que ele não seja combinação dos dois; (iii) inteiro.

Enunciado 45 · Curvatura da métrica de Robertson–Walker

S. M. Carroll, Lecture Notes on General Relativity (1997), cap. 8 “Cosmology”, métrica (8.7) na p. 219 e eqs. (8.12)–(8.14) na p. 220 — arxiv.org.

[Métrica (8.7): ds² = −dt² + a²(t)[dr²/(1 − kr²) + r²(dθ² + sin²θ dφ²)].]

Com a métrica em mãos, podemos passar ao cálculo dos coeficientes da conexão e do tensor de curvatura. Escrevendo ȧ ≡ da/dt, os símbolos de Christoffel são dados por

Γ⁰₁₁ = aȧ/(1 − kr²),   Γ⁰₂₂ = aȧr²,   Γ⁰₃₃ = aȧr² sin²θ,
Γ¹₀₁ = Γ¹₁₀ = Γ²₀₂ = Γ²₂₀ = Γ³₀₃ = Γ³₃₀ = ȧ/a,
Γ¹₂₂ = −r(1 − kr²),   Γ¹₃₃ = −r(1 − kr²) sin²θ,
Γ²₁₂ = Γ²₂₁ = Γ³₁₃ = Γ³₃₁ = 1/r,
Γ²₃₃ = −sin θ cos θ,   Γ³₂₃ = Γ³₃₂ = cot θ.   (8.12)

As componentes não nulas do tensor de Ricci são

R₀₀ = −3ä/a,   R₁₁ = (aä + 2ȧ² + 2k)/(1 − kr²),   R₂₂ = r²(aä + 2ȧ² + 2k),   R₃₃ = r²(aä + 2ȧ² + 2k) sin²θ,   (8.13)

e o escalar de Ricci é então

R = (6/a²)(aä + ȧ² + k).   (8.14)

No Sucuri: tudo: os Christoffel, o Ricci e o escalar.

Enunciado 72 · Curvatura negativa: o espaço hiperbólico 3D

A. Guth, MIT 8.962 General Relativity (Spring 2018), Problem Set 6, Problem 4 (“Negative Curvature”), p. 4 — web.mit.edu.

Considere o espaço tridimensional dado pelo conjunto de pontos {(x, y, z), x ∈ ℝ, y ∈ ℝ, z > 0}, com a métrica

ds² = (a/z²)(dx² + dy² + dz²).   (4.1)

Calcule a métrica, a conexão, o tensor de curvatura de Riemann, o tensor de Ricci e o escalar de Ricci.

No Sucuri: tudo: a conexão, o Riemann, o Ricci e o escalar.

Enunciado 73 · Superfícies de revolução

C. Hirata, Ph 236 – Homework 4 (Caltech, 2011), problema 1 “Surfaces of revolution”, p. 1 — tapir.caltech.edu.

Considere uma superfície bidimensional M mergulhada no espaço euclidiano tridimensional ℝ³. Suponha, além disso, que seja uma superfície de revolução, isto é, que possa ser descrita em coordenadas cilíndricas (z, ϖ, φ) por uma equação da forma

z = f(ϖ).

Localmente, a superfície bidimensional pode ser descrita pelas coordenadas (ϖ, φ).

(a) Mostre que o elemento de linha da superfície é ds² = F(ϖ) dϖ² + ϖ² dφ², onde F(ϖ) = 1 + [f′(ϖ)]².

(b) Calcule os símbolos de Christoffel desta superfície.

(c) Calcule o tensor de Riemann R_ijkl desta superfície (dica: use as simetrias do tensor de Riemann para não ter de fazer 16 cálculos tediosos).

(d) Mostre que o escalar de Ricci é R = F′(ϖ) / (ϖ[F(ϖ)]²).

(e) Prove que uma superfície bidimensional tem tensor de Riemann nulo se e somente se seu escalar de Ricci se anula.

(f) Use (e) para classificar completamente as superfícies de revolução com tensor de Riemann nulo.

No Sucuri: tudo: (a) a métrica induzida, (b)–(c) Christoffel e Riemann, (d) o escalar, (e) pela identidade de dimensão 2 do enunciado 12, (f) resolvendo F′ = 0: z = C₁ + C₂ϖ, planos e cones.

Enunciado 74 · Geodésicas, conexão e curvatura na esfera e no cone

P. van Baal, Problem Set – Theory of General Relativity (Leiden), problema 5 “Geodesics, connections, curvature”, pp. 1–2 — lorentz.leidenuniv.nl.

Para nos familiarizarmos melhor com espaços curvos e geodésicas, consideramos agora a esfera e o cone bidimensionais mergulhados em ℝ³ com ds² = dx² + dy² + dz²:

esfera: x = a sen θ cos φ, y = a sen θ sen φ, z = a cos θ;
cone: x = r cos φ, y = r sen φ, z = r.

As perguntas a seguir devem ser respondidas tanto para a esfera quanto para o cone. (Dica: veja o exemplo FN.2.2.1 e o problema FN.2.3.)

a) Qual é o tensor métrico?

b) Calcule os símbolos de Christoffel Γ^a_bc.

c) Calcule o tensor de curvatura R^a_bcd ≡ ∂_cΓ^a_bd − ∂_dΓ^a_bc + Γ^e_bdΓ^a_ec − Γ^e_bcΓ^a_ed. Calcule também R_bd ≡ R^a_bad e R ≡ R^a_a. Dê uma interpretação dos resultados.

d) Quais são as equações das geodésicas? Determine as soluções mais gerais. Dica para a esfera: mostre que o momento angular se conserva e use isso para determinar as geodésicas. Dica para o cone: se você cortar e abrir o cone, quais são as geodésicas? Isso concorda com o que você encontrou para a curvatura?

No Sucuri: tudo: para a esfera e o cone: a métrica induzida, Christoffel, Riemann, Ricci e R, as equações das geodésicas e as soluções — grandes círculos, cot θ = M sen(φ − φ₀); e, no cone, retas do cone aberto. A interpretação fica com o leitor.

Enunciado 75 · Símbolos de Christoffel no limite newtoniano

A. Guth, MIT 8.962 General Relativity (Spring 2018), Problem Set 3, Problem 2 (“An Inertial Coordinate System in the Newtonian Limit”), item (a), p. 2 — web.mit.edu.

Considere a métrica de espaço-tempo com componentes

g₀₀ = −(1 + az),   g_0i = 0,   g_ij = δ_ij

numa região próxima da origem O = (0, 0, 0, 0) onde az ≪ 1, sendo a uma constante.

(a) Calcule os coeficientes de Christoffel não nulos dessa métrica.

No Sucuri: tudo: os Christoffel.

Enunciado 76 · Espaço-tempo de de Sitter em coordenadas planas

C. Hirata, Ph 236 – Homework 5 (Caltech, 2011), problema 1 “Cosmological constant”, p. 1 — tapir.caltech.edu.

Considere o espaço-tempo altamente simétrico com elemento de linha

ds² = (1/(H²η²)) (−dη² + dx² + dy² + dz²),

onde H > 0 é uma constante, no domínio η < 0. (Este é o chamado espaço-tempo de de Sitter, e H é a constante de Hubble.)

(a) Encontre o tensor de Einstein deste espaço-tempo.

(b) Prove que o espaço-tempo de de Sitter é uma solução de vácuo das equações de Einstein na presença de uma constante cosmológica positiva, para uma escolha particular de H. Qual é a relação entre H e Λ?

(c) Considere um observador cuja linha de universo é dada por coordenadas espaciais (x, y, z) fixas. Explique por que essa trajetória é uma geodésica e mostre que decorre um tempo próprio infinito antes que o observador alcance η = 0.

No Sucuri: tudo: (a) e (b), pelo Ricci e o escalar; (c) as equações das geodésicas, que x, y, z constantes resolvem, e o tempo próprio, que diverge.

Enunciado 77 · Espaço-tempo de de Sitter bidimensional

J. M. Evans, Part II General Relativity, Example Sheet 1 (Cambridge, 2026), questão 9, p. 3 — damtp.cam.ac.uk.

O espaço-tempo de de Sitter bidimensional tem elemento de linha

ds² = −du² + cosh²u dφ²,

com −∞ < u < ∞ e 0 ≤ φ < 2π. Calcule os símbolos de Christoffel e, a partir deles, as equações das geodésicas. Verifique que as equações de uma geodésica afimente parametrizada x^α = x^α(λ) podem ser obtidas do princípio variacional

δ ∫ (u̇² − cosh²u φ̇²) dλ = 0,

onde u̇ = du/dλ etc. Verifique, a partir do princípio variacional, que há duas integrais primeiras ao longo da geodésica,

cosh²u φ̇ = K,   cosh²u u̇² = K² + L cosh²u,

onde K e L são constantes.

Mostre que, se K = 0, as geodésicas são φ = const. Se K ≠ 0, mostre que λ pode ser eliminado em favor de φ como parâmetro ao longo da geodésica e obtenha a equação

v′² = M² − v²,

onde v = tanh u, v′ = dv/dφ e M é uma constante que depende de L e K. Mostre então que as geodésicas com K ≠ 0 são dadas por

tanh u = M sen(φ − φ₀),

onde φ₀ é uma constante. Mostre também que M² > 1 para geodésicas tipo tempo, M² = 1 para geodésicas nulas e M² < 1 para geodésicas tipo espaço. Tratando u e φ como coordenadas cartesianas, esboce o conjunto das geodésicas que partem de (0, 0).

Mostre, a partir do seu diagrama, que duas dessas geodésicas tipo tempo nunca voltam a se encontrar, mas que geodésicas tipo espaço podem voltar a se cruzar. Demonstre também que há pares de pontos que não podem ser ligados por uma geodésica. Quais dessas afirmações, se alguma, seriam válidas no espaço-tempo de Minkowski?

No Sucuri, em parte: os Christoffel, as equações das geodésicas e o princípio variacional (conferido), as duas integrais primeiras, e as geodésicas tanh u = M sen(φ − φ₀) com M² = 1 − κ/L² — M² > 1, = 1, < 1 para tipo tempo, nula, tipo espaço; e R = 2. O esboço, e os argumentos tirados dele — que geodésicas se reencontram, que pares de pontos não se ligam —, não.

Enunciado 78 · Einstein–Maxwell esfericamente simétrico: Reissner–Nordström e Λ

J. M. Evans, Part II General Relativity, Example Sheet 4 (Cambridge, 2026), questão 6, p. 2 — damtp.cam.ac.uk.

Mostre que as equações de Einstein–Maxwell (isto é, as equações de Einstein com o tensor energia-momento de um campo eletromagnético T^αβ = F^αγF^β_γ − ¼ F^γδF_γδg^αβ) podem ser escritas como

R_αβ = κ(F_αγF_β^γ − ¼ g_αβF_γδF^γδ).

Para um elemento de linha da forma

ds² = −f(r)c²dt² + (1/f(r)) dr² + r²(dθ² + sen²θ dφ²) ,

as únicas componentes não nulas do tensor de Ricci são dadas por

R_tt/(c²f) = −f R_rr = ½ f″ + f′/r , R_θθ = R_φφ/sen²θ = 1 − r f′ − f .

No caso

F_tr = −F_rt = Q/r² e F_αβ = 0 nos demais casos,

mostre que se pode encontrar uma solução que se reduz à solução de Schwarzschild quando Q = 0.

Encontre uma solução análoga no caso R_αβ = Λg_αβ.

No Sucuri: tudo: a forma R_αβ = κ(…), pelo traço em 4D; as componentes do Ricci que o enunciado dá, conferidas; f para Einstein–Maxwell, que com Q = 0 é Schwarzschild; e f para R_αβ = Λg_αβ. (Com c = 1.)

Enunciado 79 · Curvatura de Ricci de Reissner–Nordström

T. Dray, MTH 437/537 – HW #6 (Oregon State, primavera de 2024), problema 1, p. 1 — sites.science.oregonstate.edu.

Considere a geometria de Reissner–Nordström, com elemento de linha

−f(r) dt² + dr²/f(r) + r²(dθ² + sen²θ dφ²),

onde f(r) = 1 − 2m/r + q²/r². Determine as componentes R_ij da curvatura de Ricci.

Você pode usar o formalismo e o sistema de coordenadas que quiser. Desaconselham-se cálculos tediosos à mão, assim como tentar digitar integralmente os resultados. Outras opções incluem usar álgebra computacional e/ou usar ou adaptar um cálculo publicado em outro lugar. Essas estratégias devem, naturalmente, ser documentadas. No entanto, certifique-se de entender — e de descrever com clareza — as convenções usadas! Um ponto de partida razoável seriam as 2-formas de curvatura e as relações

Ωⁱ_j = ½ Rⁱ_jkl σ^k ∧ σ^l,   R_ij = R^m_imj,

com soma sobre índices repetidos.

No Sucuri: tudo: as componentes R_ij.

Enunciado 80 · Métrica de AdS₃

T. Hartman, Lectures on Quantum Gravity and Black Holes (Cornell, 2015), §9.1 “Exercise: Metric of AdS₃”, eqs. (9.1)–(9.4), pp. 97–98 — hartmanhep.net.

O espaço anti-de Sitter é um espaço-tempo de curvatura constante negativa. É a solução maximamente simétrica da equação de Einstein com constante cosmológica negativa. O AdS_D pode ser realizado como um hiperboloide mergulhado numa geometria de D + 1 dimensões. Nesta seção tratamos do AdS₃, que é o hiperboloide

X_AX^A = −ℓ²   (9.1)

onde A = 0, 1, 2, 3 é um índice no espaço Minkowski₂ × Minkowski₂, com métrica

H_AB dX^AdX^B = −dX₀² + dX₁² + dX₂² − dX₃².   (9.2)

Para encontrar coordenadas intrínsecas no AdS₃, basta resolver (9.1). Uma maneira de resolver essa equação é

X₀ = ℓ cosh ρ cos t,  X₁ = ℓ senh ρ sen φ,  X₂ = ℓ senh ρ cos φ,  X₃ = ℓ cosh ρ sen t.   (9.3)

(a) Verifique que isso resolve (9.1) e use (9.2) para encontrar a métrica induzida no hiperboloide.

Resposta: ds² = ℓ²(−cosh²ρ dt² + dρ² + senh²ρ dφ²).   (9.4)

Estas são as coordenadas globais do AdS₃. Embora no hiperboloide (9.1) se veja por (9.3) que t é uma coordenada periódica, quando dissermos “AdS₃” sempre entenderemos o espaço em que t é “desenrolado”, t ∈ (−∞, ∞) (o recobrimento universal do hiperboloide).

(b) Encontre a constante cosmológica em termos do raio ℓ do AdS.

No Sucuri: tudo: (a) o hiperboloide e a métrica induzida (9.4); (b) Λ = −1/ℓ², pelo Ricci.

Enunciado 81 · Geometria do espaço hiperbólico

C. Hirata, Ph 236 – Homework 16 (Caltech, 2012), problema 1 “Geometry of hyperbolic space”, p. 1 — tapir.caltech.edu.

Considere o espaço hiperbólico H³ com curvatura negativa unitária,

ds² = dχ² + senh²χ (dθ² + sen²θ dφ²).

(a) Mostre que esta é a geometria obtida tomando o espaço de Minkowski quadridimensional M⁴ e restringindo-o à 3-superfície tipo espaço Σ ⊂ M⁴ dada por −t² + x² + y² + z² = −1. Qual é a aplicação Φ : H³ → Σ das coordenadas (χ, θ, φ) em (t, x, y, z)?

(b) Usando o que você sabe sobre transformações de Lorentz infinitesimais, encontre os 6 campos de Killing correspondentes às rotações e aos boosts de Lorentz e expresse-os como vetores contravariantes no sistema de coordenadas χθφ.

(c) Mostre que, dados dois pontos P, Q ∈ H³, a separação s entre eles (isto é, o comprimento da geodésica mais curta¹ que os liga) é dada por cosh s = −Φ(P)·Φ(Q), onde o produto escalar é o de M⁴.

(d) Use o resultado de (c) para provar que, no espaço hiperbólico, a lei dos cossenos é cosh c = cosh a cosh b − senh a senh b cos γ, onde denotamos por a, b e c os comprimentos dos lados de um “triângulo” (isto é, um conjunto de 3 geodésicas ligando 3 vértices) e por α, β e γ os ângulos opostos a eles.

(e) Expanda em série de Taylor o resultado de (d) e mostre que, se a, b e c são ≪ 1, recupera-se a lei dos cossenos usual.

¹ No espaço hiperbólico, a menção à geodésica mais curta é redundante: há exatamente uma geodésica ligando dois pontos quaisquer. Isso vale, na verdade, para qualquer espaço simplesmente conexo de assinatura euclidiana (+ + +) e curvatura negativa semidefinida, isto é, em que R_αβγδξ^αη^βξ^γη^δ ≤ 0 para quaisquer vetores ξ e η.

No Sucuri, em parte: (a) a métrica induzida e a aplicação Φ, e (b) os seis campos de Killing — rotações e boosts de M⁴ restritos ao hiperboloide, e conferidos; (c) a distância, que pede a invariância pelas isometrias, e com ela (d) e (e), não.

Enunciado 82 · Curvatura de Ricci da N-esfera

G. 't Hooft, Introduction to General Relativity (Utrecht, 2013), cap. 14 “The Robertson-Walker metric”, exercício após a eq. (14.8), com a eq. (14.9), p. 60 — webspace.science.uu.nl.

[Contexto: para o espaço isotrópico tridimensional dω² = B(ϱ)dϱ² + ϱ²(dθ² + sen²θ dϕ²) (14.2), exige-se R_ij = λg_ij (14.5), o que leva a B = 1/(1 − ½λϱ²) (14.8).]

Exercício: mostre que, com ϱ = √(2/λ) sen ψ, isso dá a métrica da 3-esfera em termos de suas três coordenadas angulares ψ, θ, ϕ. De fato, a métrica de uma N-esfera pode ser escrita como

dω_N² = dψ_N² + sen²ψ_N dω_N−1²,   R_ij^(N) = λ_Ng_ij;  λ_N = N − 1.   (14.9)

No Sucuri: tudo: a métrica da 3-esfera por ϱ = √(2/λ) sen ψ, e R_ij = (N − 1)g_ij.

Enunciado 85 · A forma da geometria de Schwarzschild (paraboloide de Flamm)

T. Dray, MTH 437/537 – HW #5 (Oregon State, primavera de 2024), problema 1 “Shape of Schwarzschild geometry”, p. 1 — sites.science.oregonstate.edu.

(a) Trace o gráfico de 8mr = h² + 16m², com r como coordenada horizontal. De modo equivalente, resolva essa equação para h e trace h como função de r.

(b) Expresse o comprimento de arco ao longo desse gráfico em termos de r (e dr). Suponha que (r, h) sejam coordenadas euclidianas retangulares.

(c) Considere a superfície de revolução obtida girando sua curva em torno do eixo h. Qual é o elemento de linha dessa superfície? Compare sua resposta com a geometria de Schwarzschild.

(d) Encontre a curvatura gaussiana dessa superfície. Ela é positiva ou negativa?

No Sucuri: tudo: (a) h(r), (b) o comprimento de arco, (c) a superfície de revolução, que é a fatia equatorial de Schwarzschild, e (d) K = −m/r³ < 0. O gráfico fica com o leitor.

Enunciado 83 · O escalar de Ricci de uma métrica especial

Y. Ali-Haïmoud, General Relativity (NYU, Fall 2019), Homework 6, Exercise 3, p. 1 — cosmo.nyu.edu.

Em ordem linear em Φ, calcule as 10 componentes do tensor de Ricci, e também o escalar de Ricci, da métrica

ds² = −[1 + 2Φ(x⃗)] dt² + [1 − 2Φ(x⃗)] δ_ij dxⁱdx^j.   (3)

Note que Φ(x⃗) depende só das coordenadas espaciais (isto é, não de t).

No Sucuri: tudo: as dez componentes e o escalar, em primeira ordem.

Enunciado 84 · Coordenadas esféricas, III

T. Dray, MTH 434/534 – HW #6 (Oregon State, inverno de 2024), problema 1, p. 1 — sites.science.oregonstate.edu.

Considere a esfera de raio r, em coordenadas esféricas (θ, φ), com elemento de linha ds² = r²(dθ² + sen²θ dφ²). [O original imprime r²dθ² + sin²θ dφ², sem os parênteses.]

(a) Encontre as 1-formas de conexão ωⁱ_j nessa base.

(b) Calcule Ωⁱ_j = dωⁱ_j + ωⁱ_k ∧ ω^k_j para i, j = 1, 2 (com soma implícita em k).

(c) (Opcional para MTH 434, obrigatório para MTH 534.) Compare suas respostas (e seus cálculos) com os da lista anterior.

No Sucuri: tudo: (a) e (b); a comparação de (c) fica com o leitor.

Enunciado 18 · O colchete de Lie faz de 𝔛(M) uma álgebra de Lie

S. Richard, Differential geometry (Nagoya University, 2024), Exercício 2.2.3, §2.2, p. 19 — math.nagoya-u.ac.jp.

Contexto: 𝔛(M) tem estrutura de álgebra de Lie, isto é, existe um colchete de Lie [ , ] : 𝔛(M) × 𝔛(M) → 𝔛(M) que satisfaz:

(i) é linear em cada argumento;
(ii) é antissimétrico: [Y, X] = −[X, Y];
(iii) vale a identidade de Jacobi: [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0.

Definindo [X, Y]_p(f) := X_p(Yf) − Y_p(Xf), valem a linearidade e a regra de Leibniz; portanto [X, Y]_p é um elemento de T_p(M) para cada p ∈ M.

Exercício 2.2.3. Verifique que 𝔛(M), munido do produto [X, Y], é uma álgebra de Lie (veja [2, p. 152–153]).

No Sucuri: tudo: as propriedades do colchete, sem índice.

Enunciado 19 · Colchete de campos multiplicados por funções

S. Richard, Differential geometry (Nagoya University, 2024), Exercício 2.2.4, §2.2, p. 19 — math.nagoya-u.ac.jp.

Exercício 2.2.4. Para quaisquer X, Y ∈ 𝔛(M) e f, g ∈ C^∞(M), verifique a igualdade

[fX, gY] = fg[X, Y] + f(Xg)Y − g(Yf)X.

No Sucuri: tudo: a fórmula.

Enunciado 20 · Propriedades da derivada de Lie de campos vetoriais

S. Richard, Differential geometry (Nagoya University, 2024), Exercício 2.3.12, §2.3, p. 23 — math.nagoya-u.ac.jp.

Contexto (Lema 2.3.11): para quaisquer X, Y ∈ 𝔛(M), tem-se L_X(Y) = [X, Y].

Exercício 2.3.12. Prove (e entenda) as seguintes igualdades, para quaisquer X, Y, Z ∈ 𝔛(M) e f ∈ C^∞(M):

(i) L_X[Y, Z] = [L_XY, Z] + [Y, L_XZ];
(ii) L_X ∘ L_Y − L_Y ∘ L_X = L_[X,Y];
(iii) L_X(fY) = (L_Xf)Y + f(L_XY).

No Sucuri: tudo: (i) e (ii), com Jacobi como hipótese — ℒ_X é o colchete, e as duas são Jacobi reescrita —, e (iii), a regra de Leibniz do colchete, sem hipótese.

Enunciado 21 · Torção e curvatura são C^∞(M)-lineares

S. Richard, Differential geometry (Nagoya University, 2024), Exercício 5.4.3 (após a Definição 5.4.2), §5.4, p. 49 — math.nagoya-u.ac.jp.

Contexto (Definição 5.4.2): para uma variedade riemanniana M com uma conexão afim ∇, define-se, para quaisquer X, Y ∈ 𝔛(M),

T(X, Y) := ∇_XY − ∇_YX − [X, Y] ∈ 𝔛(M)  e  R(X, Y) := ∇_X∇_Y − ∇_Y∇_X − ∇_[X,Y] ∈ End(𝔛(M)),

chamadas, respectivamente, torção e curvatura da conexão. Observa-se que a aplicação (X, Y) ↦ T(X, Y) é C^∞(M)-linear nos dois argumentos e que a aplicação (X, Y, Z) ↦ R(X, Y)Z é C^∞(M)-linear nos três argumentos.

Exercício 5.4.3. Mostre a C^∞(M)-linearidade mencionada acima (veja também [8, Prop. 6.3]).

No Sucuri: tudo: a C^∞(M)-linearidade de T e de R.

Enunciado 22 · A diferença de duas conexões é um tensor

H. S. Reall, Part III General Relativity (2022), §3.1 “Introduction”, exercício logo após a eq. (3.10), p. 33 (p. 34 do PDF) — damtp.cam.ac.uk.

Sejam ∇ e ∇̃ duas conexões diferentes em M. Mostre que ∇ − ∇̃ é um campo tensorial do tipo (1, 2). Isso pode ser feito a partir da definição de conexão ou a partir da lei de transformação das componentes da conexão.

No Sucuri: tudo: pela definição de conexão: (∇ − ∇̃)_XY é linear sobre funções nos dois slots — o que faz dele um tensor (1, 2) —, e, se as duas não têm torção, simétrico.

Enunciado 23 · Fórmula de Koszul

S. Richard, Differential geometry (Nagoya University, 2024), Exercício 5.4.5, §5.4, p. 49 — math.nagoya-u.ac.jp.

Contexto: uma conexão é dita livre de torção se T(X, Y) = 0 para quaisquer X, Y, e é dita riemanniana (ou de Levi-Civita) se, além disso,

X⟨Y₁, Y₂⟩ = ⟨∇_XY₁, Y₂⟩ + ⟨Y₁, ∇_XY₂⟩.   (5.4.1)

Exercício 5.4.5 (fórmula de Koszul). Para X, Y, Z ∈ 𝔛(M), ponha

⟨∇_XY, Z⟩ := ½ { X⟨Y, Z⟩ + Y⟨Z, X⟩ − Z⟨X, Y⟩ − ⟨X, [Y, Z]⟩ + ⟨Y, [Z, X]⟩ + ⟨Z, [X, Y]⟩ }.

Verifique que a conexão definida por essa relação é livre de torção e satisfaz (5.4.1). Essa igualdade é chamada fórmula de Koszul e mostra a existência de uma conexão riemanniana.

No Sucuri: tudo: as duas direções: a pedida — definida ∇ pela fórmula, ela é sem torção e compatível com a métrica — e a recíproca, a unicidade. De g(W, Z) = 0 para todo Z vem W = 0: é a métrica ser não degenerada.

Enunciado 24 · Primeira identidade de Bianchi

S. Richard, Differential geometry (Nagoya University, 2024), Exercício 6.2.2 (sobre o Lema 6.2.1), §6.2, p. 60 — math.nagoya-u.ac.jp.

Contexto (Lema 6.2.1): suponha que a conexão na variedade diferenciável seja livre de torção. Então a curvatura satisfaz, para quaisquer X, Y, Z ∈ 𝔛(M),

R(X, Y)Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0,

onde 0 denota o campo vetorial nulo.

Exercício 6.2.2. Prove a identidade de Bianchi, inspirando-se em [4, Prop. 4.1.3].

No Sucuri: tudo: a identidade, das definições e da torção nula.

Enunciado 25 · Segunda identidade de Bianchi e variedades de Einstein

A. G. Kovalev, Part III: Riemannian Geometry — Example Sheets (Cambridge, Lent 2017), Example Sheet 1, Questão 2, p. 1 — dec41.user.srcf.net.

2. (i) Seja M uma variedade riemanniana. Mostre que a derivada covariante de Levi-Civita de R(X, Y) ∈ Γ(End TM) é dada por

∇_ZR(X, Y) = [∇_Z, R(X, Y)] − R(∇_ZX, Y) − R(X, ∇_ZY).

Deduza daí uma versão da segunda identidade de Bianchi para a conexão de Levi-Civita:

∇_XR(Y, Z) + ∇_YR(Z, X) + ∇_ZR(X, Y) = 0.   (∗)

(ii) Quando dim M ≥ 3, mostre, usando (∗), que se Ric = f g para alguma função suave f, então f é constante (diz-se então que M é uma variedade de Einstein).
(Pode ser útil considerar a aplicação δ : Γ(Sym² T*M) → Γ(T*M) = Ω¹(M) definida por (δh)(X) = −∑_i=1ⁿ (∇_eih)(e_i, X), onde {e_i} é qualquer referencial ortonormal local em M, e tomar h = Ric.)

No Sucuri: tudo: (i) a segunda identidade de Bianchi, da identidade de Ricci — a fórmula de ∇_ZR(X, Y) é a regra de Leibniz para ∇ de um tensor, e a dedução sai em índices; (ii) Ric = fg ⇒ ∇f = 0, com a condição d ≠ 2 dita pela própria prova.

Enunciado 26 · Grupo de Lie com métrica bi-invariante

A. G. Kovalev, Part III: Riemannian Geometry — Example Sheets (Cambridge, Lent 2017), Example Sheet 1, Questão 5 (pp. 1–2 do PDF) — dec41.user.srcf.net.

5. Seja G um grupo de Lie munido de uma métrica riemanniana g que é invariante à esquerda e à direita, e sejam X, Y, Z campos vetoriais invariantes à esquerda em G.

(i) Mostre que g([X, Y], Z) + g(Y, [X, Z]) = 0. (Considere o fluxo de X.)
(ii) Mostre que ∇_XX = 0. (Dica: considere g(Y, ∇_XX).)
(iii) Mostre que ∇_XY = ½[X, Y].
(iv) Prove que R(X, Y)Z = ¼[[X, Y], Z].
(v) Suponha que X e Y são ortonormais e seja K(σ) a curvatura seccional do 2-plano σ gerado por X e Y. Prove que

K(σ) = ¼ |[X, Y]|_g².

No Sucuri, em parte: (ii)–(v), com o item (i) — g([X,Y], Z) + g(Y, [X,Z]) = 0 — como hipótese, e g(Y, Z) constante para campos invariantes à esquerda; (iv) e (v) na convenção de sinal de Kovalev, dita como definição. (i) mesmo, pelo fluxo de X, não.

Enunciado 27 · dω(X, Y) para uma 1-forma

J. Ross, Part III: Differential Geometry, Example Sheet 2 (Cambridge, 2016, versão 3 de 16/11/2016), questão 9, p. 6 do PDF — dec41.user.srcf.net.

9. (Identidade de formas diferenciais) Prove a identidade

dω(X, Y) = Xω(Y) − Yω(X) − ω([X, Y])

para uma 1-forma ω e campos vetoriais X, Y. *Você consegue generalizar esse resultado para o caso em que ω é uma p-forma?

No Sucuri, em parte: a fórmula para 1-formas, com dω_μν = ∂_μω_ν − ∂_νω_μ (a normalização é a da fórmula); a generalização a p-formas, a parte estrelada, não.

Enunciado 53 · Comutador de campos vetoriais via derivada covariante

Y. Ali-Haïmoud, General Relativity (NYU, Fall 2019), Homework 6, Exercise 1, item (iii), p. 1 — cosmo.nyu.edu.

Dado um campo vetorial X, para qualquer função suave f : 𝓜 → ℝ podemos definir a função suave X(f) que, em cada ponto p ∈ 𝓜, associa X|_p(f). Dados dois campos vetoriais X e Y, definimos seu comutador [X, Y] por

[X, Y](f) ≡ X(Y(f)) − Y(X(f)).   (1)

(iii) Lembre a convenção de notação ∇_XY^α ≡ X^β∇_βY^α. Prove que [X, Y]^α = ∇_XY^α − ∇_YX^α.

No Sucuri: tudo: a identidade.

Enunciado 58 · Derivada de Lie de vetores, covetores e tensores (0,2); condição de Killing

J. M. Evans, Part II General Relativity, Example Sheet 3 (Cambridge, Lent 2026), questão 9, p. 2 — damtp.cam.ac.uk.

9. A derivada de Lie (ℒ_ξV)^α de um campo vetorial V^α em relação a um campo vetorial ξ^α (suposto tipo-tempo) é definida pelas seguintes condições: (i) se {x^α} é um sistema de coordenadas no qual ξ^α = (1, 0, 0, 0), então

(ℒ_ξV)^α = ∂V^α/∂x⁰ = ξ^β ∂V^α/∂x^β,

e (ii) (ℒ_ξV)^α se transforma como um vetor. Mostre que, num sistema de coordenadas geral,

(ℒ_ξV)^α = ξ^β∇_βV^α − V^β∇_βξ^α.

Suponha, além disso, que a derivada de Lie ℒ_ξφ de um campo escalar φ em relação a um campo vetorial ξ^α é definida, num sistema de coordenadas geral {x^α}, por

ℒ_ξφ = ξ^α ∂φ/∂x^α,

e que a derivada de Lie obedece à regra de Leibniz usual quando aplicada a um produto tensorial. Encontre a derivada de Lie (ℒ_ξU)_α de um campo covetorial U_α.

Escreva uma expressão para a derivada de Lie, em relação a ξ^α, de um tensor T_αβ do tipo (0, 2) e mostre que a condição para que ξ^α seja um campo de Killing (como na questão 6 acima, isto é, ξ_α;β + ξ_β;α = 0) é (ℒ_ξg)_αβ = 0, onde g_αβ é o tensor métrico.

No Sucuri: tudo: ℒ_ξV das coordenadas adaptadas, a forma covariante (sem torção), o covetor e o (0, 2) — os dois como no enunciado 17 — e a equação de Killing como ℒ_ξg = 0.

Enunciado 28 · Derivada exterior via conexão sem torção

A. G. Kovalev, Part III: Riemannian Geometry, Example Sheet 3 (Cambridge, Lent 2017), questão 3 — dec41.user.srcf.net.

Γ(T*M ⊗ Λ^p T*M) --alt--> Γ(Λ^{p+1} T*M), with d : Γ(Λ^p T*M) → Γ(Λ^{p+1} T*M), where alt(ξ ⊗ α) = ξ ∧ α denotes projection to the subspace of anti-symmetric tensors (p > 0). Deduce the formula for the exterior derivative of one-forms dα(X, Y) = (∇_X α)(Y) − (∇_Y α)(X) as stated in the Lectures. ∗ Show that these results hold for any torsion-free connection ∇ on M." -->

3. Mostre que, para a conexão de Levi-Civita, o diagrama a seguir comuta:

Γ(Λ^pT*M) —∇→ Γ(T*M ⊗ Λ^pT*M) —alt→ Γ(Λ^p+1T*M),  igual a  d : Γ(Λ^pT*M) → Γ(Λ^p+1T*M),

onde alt(ξ ⊗ α) = ξ ∧ α denota a projeção no subespaço dos tensores antissimétricos (p > 0). Deduza a fórmula para a derivada exterior de 1-formas

dα(X, Y) = (∇_Xα)(Y) − (∇_Yα)(X),

conforme enunciada nas aulas. (*) Mostre que esses resultados valem para qualquer conexão ∇ sem torção em M.

No Sucuri, em parte: a fórmula de dα para qualquer conexão sem torção, com a fórmula de dα nos vetores como hipótese; o diagrama para p-formas, não.

Enunciado 29 · Contração (produto interior) como antiderivação

J. Ross, Part III: Differential Geometry, Example Sheet 2 (Cambridge, 2016, versão 2 de 14/10/2016), questão 8 — dec41.user.srcf.net.

8. (Contrações) Seja V um espaço vetorial, X ∈ V e ω ∈ Λ^kV*. Defina i_X(ω) por

i_X(ω)(Y₁, …, Y_k−1) = ω(X, Y₁, …, Y_k−1).

Prove que i_X(ω) ∈ Λ^k−1V*. Prove também que, se ω ∈ Λ^kV* e η ∈ Λ^lV*, então

i_X(ω ∧ η) = i_Xω ∧ η + (−1)^k ω ∧ (i_Xη).

Agora, numa variedade diferenciável M, suponha X ∈ Vect(M) e ω ∈ Ω^p(M). Mostre como a fórmula

i_Xω|_p := i_Xp(ω_p)

fornece um elemento de Ω^p−1(M).

No Sucuri: tudo: a regra de antiderivação de ι_X; o resto do enunciado é definição.

Enunciado 30 · Derivada de Lie de uma 1-forma e fórmula de Cartan

D. Tong, General Relativity: Example Sheet 1 (2019), questão 5*, p. 2 — davidtong.org.

Use a regra de Leibniz para deduzir a fórmula da derivada de Lie de uma 1-forma ω, válida em qualquer base coordenada:

(L_Xω)_μ = X^ν∂_νω_μ + ω_ν∂_μX^ν

[Dica: considere (L_Xω)(Y) para um campo vetorial Y.] Mostre que a derivada de Lie de um tensor g do tipo (0, 2) é

(L_Xg)_μν = X^ρ∂_ρg_μν + g_μρ∂_νX^ρ + g_ρν∂_μX^ρ

Para uma p-forma η, defina ι_Xη como a (p − 1)-forma que resulta de contrair um campo vetorial X com o primeiro índice de η. Mostre que, para uma 1-forma ω,

L_Xω = ι_X(dω) + d(ι_Xω).

No Sucuri: tudo: as duas fórmulas em coordenadas, pela regra de Leibniz, e a fórmula de Cartan numa 1-forma, a partir da definição de ℒ_X por Leibniz e da de dω.

Enunciado 31 · Propriedades da derivada exterior

H. S. Reall, Part 3 General Relativity (2022), §8.1 “Introduction” (cap. 8, formas diferenciais), “Exercises (examples sheet 4)”, eqs. (8.7)–(8.9), p. 100 — damtp.cam.ac.uk.

Contexto: a derivada exterior de uma p-forma X é a (p + 1)-forma dX definida, numa base coordenada, por (dX)_μ1…μp+1 = (p + 1) ∂_[μ1X_μ2…μp+1] (8.5).

Exercícios (lista 4). Mostre que a derivada exterior goza das seguintes propriedades:

d(dX) = 0 (8.7)

d(X ∧ Y) = (dX) ∧ Y + (−1)^p X ∧ dY (8.8)

(onde Y é uma q-forma) e

d(φ^*X) = φ^* dX (8.9)

(onde φ : N → M), isto é, a derivada exterior comuta com o pull-back.

No Sucuri, em parte: d(dX) = 0 e a regra de Leibniz graduada; o pull-back, não.

Enunciado 32 · Comutatividade graduada e associatividade do produto exterior

H. S. Reall, Part III General Relativity (2022), §8.1 “Introduction”, exercício com as eqs. (8.2)–(8.3), p. 99 — damtp.cam.ac.uk.

Definição. O produto exterior de uma p-forma X e uma q-forma Y é a (p + q)-forma X ∧ Y definida por

(X ∧ Y)_{a₁…apb₁…bq} = [(p + q)!/(p! q!)] X_[a₁…apY_b₁…bq].   (8.1)

Exercício. Mostre que

X ∧ Y = (−1)^pq Y ∧ X   (8.2)

(de modo que X ∧ X = 0 se p for ímpar); e que

(X ∧ Y) ∧ Z = X ∧ (Y ∧ Z),   (8.3)

isto é, o produto exterior é associativo e, portanto, não precisamos escrever os parênteses.

No Sucuri: tudo: (8.2) e (8.3).

Enunciado 33 · Dual de Hodge: ⋆⋆ e ⋆d⋆

H. S. Reall, Part 3 General Relativity (2022), §8.5 “Volume form”, Lema com as eqs. (8.56)–(8.57) (“Proof. Exercise (use (8.54))”), pp. 107–108 — damtp.cam.ac.uk.

Contexto: ε é a forma de volume de uma variedade orientada de dimensão n com métrica, e vale

εa1…apcp+1…cn εb1…bpcp+1…cn = ±p!(n − p)! δa1[b1 … δapbp] (8.54),

com o sinal superior (inferior) para assinatura riemanniana (lorentziana).

Definição. Numa variedade orientada com métrica, o dual de Hodge de uma p-forma X é a (n − p)-forma ⋆X definida por

(⋆X)_a1…an−p = (1/p!) ε_{a1…an−pb1…bp} X^b₁…b_p (8.55)

Lema. Para uma p-forma X,

⋆(⋆X) = ±(−1)^p(n−p) X (8.56)

(⋆d⋆X)_a1…ap−1 = ±(−1)^p(n−p) ∇^bX_a1…ap−1b (8.57)

onde o sinal superior (inferior) vale para assinatura riemanniana (lorentziana).

Demonstração. Exercício (use (8.54)).

No Sucuri, em parte: ⋆⋆ = ±(−1)^p(n−p), com a assinatura declarada; ⋆d⋆ por ∇, não.

Enunciado 47 · d comuta com a derivada de Lie; regra de Leibniz para L_X

C. Wendl, Differential Geometry I, Problem Set 7 (Humboldt-Universität zu Berlin, 2016–17), problema 1(a) — mathematik.hu-berlin.de.

1. O objetivo deste problema é provar a fórmula de Cartan para a derivada de Lie de uma forma diferencial:

L_Xω = dι_Xω + ι_Xdω.   (1)

Lembre que, para uma k-forma ω ∈ Ω^k(M) numa n-variedade diferenciável M, L_Xω ∈ Ω^k(M) é definida como ∂_t φ_t*ω|_t=0, onde φ_t : M → M denota o fluxo, no tempo t, do campo vetorial X ∈ Vec(M).

(a) Use a definição da derivada de Lie para provar a relação

d(L_Xω) = L_X(dω)

e a regra de Leibniz

L_X(α ∧ β) = L_Xα ∧ β + α ∧ L_Xβ.   (2)

Observe que essa fórmula determina a ação de L_X sobre formas diferenciais arbitrárias, desde que se saiba como ela age sobre 0-formas (isto é, funções suaves) e sobre 1-formas exatas (isto é, diferenciais de funções suaves).

No Sucuri, em parte: d ℒ_X = ℒ_X d e a regra de Leibniz de ℒ_X (o exemplo do 48). Mas o exercício pede as duas a partir da definição de ℒ_X pelo fluxo, para daí provar a fórmula de Cartan; no Sucuri, ℒ_X nas formas é definida pela fórmula de Cartan, e essa rota não se percorre.

Enunciado 48 · dι_X + ι_Xd satisfaz a regra de Leibniz (fórmula de Cartan)

C. Wendl, Differential Geometry I, Problem Set 7 (Humboldt-Universität zu Berlin, 2016–17), problema 1(d) — mathematik.hu-berlin.de.

Contexto: o problema 1 visa provar a fórmula de Cartan L_Xω = dι_Xω + ι_Xdω (1). No item (a), prova-se a regra de Leibniz L_X(α ∧ β) = L_Xα ∧ β + α ∧ L_Xβ (2). No item (c), prova-se que ι_v satisfaz a regra de Leibniz graduada ι_v(α ∧ β) = ι_vα ∧ β + (−1)^|α| α ∧ ι_vβ.

(d) Para qualquer X ∈ Vec(M) fixado, use as regras de Leibniz graduadas satisfeitas por d e ι_X para mostrar que o operador (d ∘ ι_X + ι_X ∘ d) : Ω^k(M) → Ω^k(M) também satisfaz a regra de Leibniz (2). Deduza que esse operador coincide com L_X.

Nota do autor (rodapé 2): ao contrário da derivada exterior e do produto interior, a regra de Leibniz satisfeita por L_X não tem sinais incômodos. Isso é coerente com pensar em L_X : Ω^k(M) → Ω^k(M) como um objeto de grau zero (portanto par), em d como um objeto de grau um (ímpar) e em ι_X : Ω^k(M) → Ω^k−1(M) como um objeto de grau −1 (também ímpar).

No Sucuri: tudo: que dι_X + ι_Xd satisfaz a regra de Leibniz.

Enunciado 51 · d² = 0 em ℝ³: rot grad = 0 e div rot = 0

C. Wendl, Differential Geometry I, Problem Set 6 (Humboldt-Universität zu Berlin, 2016–17), problema 6(c) — mathematik.hu-berlin.de.

Contexto (preâmbulo do problema 6 e item (b)): dada uma forma de volume μ ∈ Ωⁿ(M) numa n-variedade M, o divergente de X ∈ Vec(M) é a única função div(X) : M → ℝ tal que L_Xμ = div(X) μ. Em M = ℝ³, com μ = dx ∧ dy ∧ dz e X = X^x∂_x + X^y∂_y + X^z∂_z, tem-se div(X) = ∂_xX^x + ∂_yX^y + ∂_zX^z, expressão às vezes denotada por ∇ · X.

(c) Lembre que, em ℝ³, o gradiente de uma função f : ℝ³ → ℝ é o campo vetorial

grad(f) = ∇f := (∂_xf)∂_x + (∂_yf)∂_y + (∂_zf)∂_z,

e o rotacional de um campo vetorial X = X^x∂_x + X^y∂_y + X^z∂_z é o campo vetorial

rot(X) = ∇ × X := (∂_yX^z − ∂_zX^y)∂_x + (∂_zX^x − ∂_xX^z)∂_y + (∂_xX^y − ∂_yX^x)∂_z.

Usando as relações dessas operações com as formas diferenciais e a derivada exterior, deduza de d² = 0 as fórmulas

∇ × (∇f) = 0   e   ∇ · (∇ × X) = 0

para toda f ∈ C^∞(ℝ³) e todo X ∈ Vec(ℝ³).

No Sucuri: tudo: rot grad = 0 e div rot = 0, com formas e com índices.

Enunciado 46 · ℒ_[X,Y] = [ℒ_X, ℒ_Y] em formas

C. Wendl, Differential Geometry I, Problem Set 7 (Humboldt-Universität zu Berlin, 2016–17), problema 4(a), p. 3 — mathematik.hu-berlin.de.

4. (a) Use regras de Leibniz, como no Problema 1, para mostrar que, para todos X, Y ∈ Vec(M) e ω ∈ Ω^k(M),

ℒ_[X,Y]ω = ℒ_Xℒ_Yω − ℒ_Yℒ_Xω.

No Sucuri, em parte: em funções — é a definição do colchete — e em 1-formas, por Leibniz e Jacobi; nas formas de grau maior, o argumento de que duas derivações que coincidem em funções e em df coincidem em tudo, não.

Enunciado 49 · dω(X, Y, Z) para uma 2-forma

C. Wendl, Differential Geometry I, Problem Set 6 (Humboldt-Universität zu Berlin, 2016–17), problema 4 (preâmbulo) e item (c), pp. 2–3 — mathematik.hu-berlin.de.

4. Lembre que, se (x¹, …, xⁿ) : U → ℝⁿ é uma carta definida num aberto de uma n-variedade M, qualquer k-forma ω ∈ Ω^k(M) pode ser escrita em U como

ω = ω_i1…ik dx^i₁ ⊗ … ⊗ dx^i_k = (1/k!) ω_i1…ik dx^i₁ ∧ … ∧ dx^i_k = ∑_i1<…<ik ω_i1…ik dx^i₁ ∧ … ∧ dx^i_k,

onde as duas primeiras expressões usam a convenção de soma de Einstein e a terceira não. Aqui as funções componentes ω_i1…ik : U → ℝ se escrevem, em termos dos campos coordenados ∂₁, …, ∂_n, como ω_i1…ik = ω(∂_i1, …, ∂_ik). Para escrever uma fórmula em coordenadas para a derivada exterior, introduzimos a seguinte notação: dada qualquer coleção de funções T_i1…ik em U indexada por i₁, …, i_k, defina

T_[i1…ik] := (1/k!) ∑_σ∈Sk (−1)^|σ| T_{iσ(1)…iσ(k)},

de modo que, por exemplo, se T_i1…ik são as componentes de um campo tensorial T, então Alt(T)_i1…ik = T_[i1…ik], e o produto exterior de α ∈ Ω^k(M) e β ∈ Ω^ℓ(M) pode agora ser escrito em coordenadas como

(α ∧ β)_{i1…ikj1…jℓ} = α_[i1…ikβ_j1…jℓ].

[…]

(c) Segue agora do Problem Set 4 #1(a) que a derivada exterior de uma 1-forma λ também pode ser escrita como

dλ(X, Y) = ℒ_X(λ(Y)) − ℒ_Y(λ(X)) − λ([X, Y]).

De fato, o lado direito é C^∞-linear nos campos vetoriais X, Y ∈ Vec(M) e, portanto, define um campo tensorial, cujas funções componentes, como vimos, coincidem com a fórmula do item (b). Prove a fórmula correspondente para a derivada exterior de uma 2-forma:

dω(X, Y, Z) = ℒ_X(ω(Y, Z)) + ℒ_Y(ω(Z, X)) + ℒ_Z(ω(X, Y)) − ω([X, Y], Z) − ω([Y, Z], X) − ω([Z, X], Y).

Observação: existem fórmulas semelhantes para as derivadas exteriores de k-formas para todo k > 2, embora eu não me lembre de alguma vez ter precisado usá-las.

No Sucuri: tudo: a fórmula, em componentes, com (dω)_λμν = ∂_λω_μν + ∂_μω_νλ + ∂_νω_λμ, a normalização dela.

Enunciado 34 · Equações de Maurer–Cartan

J. Ross, Part III: Differential Geometry, Example Sheet 2 (Cambridge, 2016, versão 3 de 16/11/2016), questão 11, p. 7 do PDF — dec41.user.srcf.net.

11. Seja G um grupo de Lie que é subgrupo de GL_n(ℝ) e sejam X_i, i = 1, …, d = dim G, campos vetoriais invariantes à esquerda, linearmente independentes, em G, induzidos por uma base de T_IG. Mostre que a condição ωⁱ(X_j) = δⁱ_j, identicamente em G, define um sistema de 1-formas suaves ωⁱ em G, linearmente independentes em cada ponto. Mostre ainda que as 1-formas ωⁱ são invariantes à esquerda, no sentido de que

L_g^*(ωⁱ) = ωⁱ,   para todo g ∈ G.

Sejam C^k_ij as constantes reais determinadas por [X_i, X_j] = ∑_k C^k_ij X_k. Deduza, a partir da identidade da questão anterior, a fórmula

dω^k = −½ ∑_i,j C^k_ij ωⁱ ∧ ω^j.

No Sucuri, em parte: a fórmula dω^k = −½ C^k_ij ωⁱ∧ω^j, deduzida da identidade da questão anterior — primeiro sem índice, dω(X, Y) = −ω([X, Y]) para ω(X), ω(Y) constantes; depois com índice, somando na base. Que as ωⁱ existem, são suaves, independentes e invariantes à esquerda é argumento, e não conta.

Enunciado 50 · O divergente via ℒ_Xμ = div(X) μ

C. Wendl, Differential Geometry I, Problem Set 6 (Humboldt-Universität zu Berlin, 2016–17), problema 6 (preâmbulo) e item (b), p. 3 — mathematik.hu-berlin.de.

6. Dada uma forma de volume μ ∈ Ωⁿ(M) numa n-variedade M, podem-se definir os volumes de regiões compactas U ⊂ M por

Vol(U) := ∫_U μ.

O divergente de um campo vetorial X ∈ Vec(M) pode então ser definido em termos da derivada de Lie de μ em relação a X: seja div(X) : M → ℝ a única função real tal que

ℒ_Xμ = div(X) μ.

Note que isso está bem definido, pois ℒ_Xμ é uma n-forma e o espaço ΛⁿT_p^*M das n-formas em cada ponto p ∈ M tem dimensão 1. Observe também que dμ = 0, já que Ωⁿ⁺¹(M) = {0}; assim, a fórmula de Cartan implica div(X) μ = dι_Xμ, o que coincide com a fórmula vista em aula para o caso M = ℝⁿ.

[…]

(b) Mostre que, no caso M = ℝ³ com μ = dx ∧ dy ∧ dz e X = X^x∂_x + X^y∂_y + X^z∂_z ∈ Vec(ℝ³) nas coordenadas cartesianas usuais (x, y, z),

div(X) = ∂_xX^x + ∂_yX^y + ∂_zX^z.

Esta última expressão às vezes também é denotada por ∇ · X.
Nota: pode-se mostrar, mais geralmente, que se μ = dx¹ ∧ … ∧ dxⁿ em ℝⁿ, então div(X) = ∂_iXⁱ.

No Sucuri: tudo: div(X) = ∂_xX^x + ∂_yX^y + ∂_zX^z, de ℒ_Xμ.

Enunciado 52 · Formas de contato em 3-variedades

C. Wendl, Differential Geometry I, Problem Set 12 (Humboldt-Universität zu Berlin, 2016–17), problema 4, itens (a)–(d), pp. 3–4 — mathematik.hu-berlin.de.

4. Suponha que M é uma 3-variedade orientada e que λ ∈ Ω¹(M) não se anula em nenhum ponto, isto é, para todo p ∈ M existem vetores X ∈ T_pM com λ(X) ≠ 0. Então, em cada p ∈ M, o núcleo ker λ_p = {X ∈ T_pM | λ(X) = 0} é um subespaço de dimensão 2 de T_pM, e a união desses núcleos, para todo p, define uma distribuição suave de dimensão 2

ξ := ker λ ⊂ TM.

(a) Mostre que as seguintes condições são equivalentes:
i. λ ∧ dλ ≡ 0;
ii. para todo p ∈ M e X, Y ∈ T_pM, dλ(X, Y) = 0 [assim no original; pelo contexto, entenda-se X, Y ∈ ξ_p];
iii. ξ é integrável.
Dica: no Problem Set 6 #4(c) há uma fórmula útil para dλ como forma C^∞-bilinear em campos vetoriais. Combine-a com o teorema de Frobenius.

A 1-forma λ é chamada forma de contato se λ ∧ dλ é uma forma de volume; a distribuição ξ (chamada estrutura de contato) é então “tão não integrável quanto possível”. Um exemplo em ℝ³ aparece na figura do original. Exemplos assim podem ser construídos pelo seguinte truque. Sejam (ρ, φ, z) as coordenadas cilíndricas usuais em ℝ³, de modo que x = ρ cos φ e y = ρ sen φ. Escolha funções suaves reais f(ρ), g(ρ) e defina λ em (ρ, φ, z) por

λ = f(ρ) dz + g(ρ) dφ.   (2)

(b) Como as coordenadas (ρ, φ, z) não estão bem definidas em ρ = 0, há naturalmente o risco de a 1-forma definida na equação (2) ser singular no eixo z. Mostre que λ é, de fato, suave em todo o ℝ³ e satisfaz λ ∧ dλ ≠ 0 perto do eixo z, supondo f(ρ) = 1 e g(ρ) = ρ² para ρ suficientemente próximo de 0. Dica: converta para coordenadas cartesianas.

(c) Supondo que f e g têm a forma descrita acima para ρ perto de 0, mostre que λ é uma forma de contato se, e somente se,

f(ρ)g′(ρ) − f′(ρ)g(ρ) ≠ 0

para todo ρ > 0. O que isso significa geometricamente sobre a curva ρ ↦ (f(ρ), g(ρ)) ∈ ℝ²? Interprete isso em termos da “torção” dos planos ξ_p quando p ∈ ℝ³ se move ao longo de caminhos radiais, afastando-se do eixo z.

(d) Por um resultado fundamental da geometria de contato, conhecido como teorema de Gray, as estruturas de contato têm a seguinte notável propriedade de “estabilidade”: se M é uma 3-variedade fechada e {ξ_t}_t∈[0,1] é qualquer família suave de estruturas de contato em M, então elas são todas “equivalentes”, no sentido de que existe uma família suave de difeomorfismos {ϕ_t : M → M}_t∈[0,1] tal que ϕ₀ = Id e Tϕ_t(ξ₀) = ξ_t para todo t ∈ [0, 1]. Mostre que isso não vale, em geral, para famílias suaves arbitrárias de distribuições; por exemplo, torna-se falso se supusermos que ξ₀ é integrável, mas ξ_t é uma estrutura de contato para cada t > 0.

No Sucuri, em parte: (c): λ∧dλ = (f g′ − f′ g) dρ∧dφ∧dz, e λ é de contato se e só se esse coeficiente não se anula; as equivalências de (a), a regularidade no eixo de (b) e a estabilidade de (d), não.

Enunciado 54 · Dual de Hodge em coordenadas esféricas

T. Dray, MTH 434/534, HW #3 (Oregon State University, inverno de 2024), problema 1 — sites.science.oregonstate.edu.

1. Dual de Hodge em coordenadas esféricas. Considere coordenadas esféricas no espaço euclidiano tridimensional com a orientação usual, a saber, ω = r² sen θ dr ∧ dθ ∧ dφ.
Atenção: estas são as convenções “da física”: θ é o ângulo medido a partir do polo norte (colatitude) e φ é o ângulo no plano xy (longitude).

(a) Determine o operador dual de Hodge ∗ em todas as formas (expresso em coordenadas esféricas), calculando sua ação sobre as formas da base em cada grau.

(b) Calcule os produtos escalar e vetorial de duas 1-formas genéricas em coordenadas esféricas, usando as expressões

α · β = ∗(α ∧ ∗β),
α × β = ∗(α ∧ β).

Você pode exprimir os resultados em relação a uma base ortonormal ou em relação a uma base esférica “coordenada” (não ortonormal); certifique-se de saber qual das duas está usando. (“Genéricas” significa quaisquer duas 1-formas, por exemplo em termos de suas componentes.)

No Sucuri: tudo: (a) ⋆ em todas as formas da base, e (b) α·β e α×β de duas 1-formas genéricas — na base coordenada, que o enunciado permite, e dita.

Enunciado 55 · Dual de Hodge no espaço de Minkowski

T. Dray, MTH 434/534, HW #3 (Oregon State University, inverno de 2024), problema 2 — sites.science.oregonstate.edu.

2. Dual de Hodge no espaço de Minkowski. O espaço de Minkowski de dimensão 4 tem uma base ortonormal e orientada de 1-formas dada por

{dx, dy, dz, dt},

com g(dt, dt) = −1, g(dx, dx) = g(dy, dy) = g(dz, dz) = 1 e todos os demais nulos. O “elemento de volume” (escolha de orientação) é dado por ω = dx ∧ dy ∧ dz ∧ dt.

(a) Determine o operador dual de Hodge ∗ em todas as formas, calculando sua ação sobre as formas da base em cada grau.

(b) Como muda sua resposta se for escolhida a orientação oposta, a saber,

ω = dt ∧ dx ∧ dy ∧ dz?

No Sucuri: tudo: (a) ⋆ nas formas da base, com ω = dx∧dy∧dz∧dt, e (b) a orientação oposta, que troca o sinal de todas.

Enunciado 56 · Gradiente, rotacional, divergente e laplaciano com d e ∗

T. Dray, MTH 434/534, HW #4 (Oregon State University, inverno de 2024), problema 1 — sites.science.oregonstate.edu.

1. Coordenadas ortogonais. Escolha qualquer sistema de coordenadas ortogonais no espaço euclidiano tridimensional ℝ³ que não seja o cartesiano, o cilíndrico ou o esférico. (Você pode me procurar para sugestões.) Trabalhando numa base ortonormal, calcule o gradiente e o laplaciano de uma função arbitrária, e o rotacional e o divergente de um “campo vetorial” arbitrário (novamente, na verdade uma 1-forma), usando as expressões

∇f = df,
∇ × α = ∗dα,
∇ · α = ∗d∗α,
△f = ∇ · ∇f = ∗d∗df.

Você pode conferir sua resposta em livros de referência usuais, mas deve usar a diferenciação exterior e a dualidade de Hodge nos seus cálculos.

No Sucuri: tudo: gradiente, rotacional, divergente e laplaciano pelas quatro fórmulas, em coordenadas parabólicas — e no cobase ortonormal, como o enunciado pede.

Enunciado 57 · Formas decomponíveis

T. Dray, MTH 434/534 – HW #2 (Oregon State, inverno de 2024), problema 1 “Decomposable forms”, p. 1 — sites.science.oregonstate.edu.

Denote as p-formas em ℝⁿ por ⋀^p(ℝⁿ). Uma 1-forma típica em ℝ² teria, portanto, a forma F = F_x dx + F_y dy ∈ ⋀¹(ℝ²). Uma p-forma β ∈ ⋀^p(ℝⁿ) é dita decomponível se existem 1-formas α_i ∈ ⋀¹(ℝⁿ) tais que β = α₁ ∧ … ∧ α_p.

(a) Mostre que todos os elementos de ⋀²(ℝ³), isto é, todas as 2-formas em ℝ³, são decomponíveis. Em outras palavras, mostre que H = H_x dy∧dz + H_y dz∧dx + H_z dx∧dy é decomponível. Dica: considere a lista anterior! Você pode citar sua solução da lista anterior sem demonstração, desde que dê uma referência explícita (“ver HW #1”). Se fizer isso, não custa anexar uma cópia da lista anterior.

(b) Encontre um exemplo de 2-forma indecomponível γ ∈ ⋀^p(ℝⁿ). Dica: não trabalhe em ℝ³…

(c) Vale γ ∧ γ = 0? Deveria valer? Pode valer?

(d) Somente para alunos de MTH 534 (ou crédito extra): mostre que todas as 3-formas em ℝ⁴ são decomponíveis.

Crédito extra: você consegue argumentar que todos os elementos de ⋀ⁿ⁻¹(ℝⁿ) são decomponíveis?

No Sucuri: tudo: (a) toda 2-forma de ℝ³ é α∧β — a decomposição, para H_x ≠ 0, conferida; os outros casos trocam as coordenadas —, (b) e (c), e (d): toda 3-forma de ℝ⁴ é α∧β∧γ, do mesmo jeito. O crédito extra, em ℝⁿ, fica com o leitor.